最大的最小公倍数

最大的最小公倍数

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Description

从小学我们就学过最小公倍数，今天这个问题也是关于最小公倍数lcm (lease common multiple)的。我们的问题是，给定一个整数n后，你需要任取三个不大于n的数，取法不限，每个数可取多个，使得取到的这三个数的最小公倍数在所有取法中是最大的。

举个例子：给定的n是5。那么不大于5的可选数为1、2、3、4、5。这里选出3、4、5三个数的最小公倍数是60，在所有取法中是最大的。因此我们得到结果60。

Input

输入包含多组测试数据，每组为一个整数n (1 <= n <= 10^6) 如上所述。

Output

对每组测试数据，输出一个整数，代表所有可能取法中，选出的不超过n的三个数的最小公倍数的最大值。允许选取相同的数多次。

Sample Input

5

7

Sample Output

60

210

 

  这个题的意思就是要我们在1~N的范围内找三个数，使他们的最小公倍数在这个范围内的组合是最大的。那么你的第一印象是什么的？我的第一印象是找三个两两互质的数，这样只需要相乘即可，就没有需要约分的地方。

       接下来先说一个结论：大于1的两个相邻的自然数必定互质。

       而对于1~N的范围，肯定是 n*(n-1)*(n-2)的乘积最大、如果这三个数还两两互质的话那就最棒了。

       如果n是奇数，那么 n、n-1、n-2必定两两互质，要是有些纠结的话，那么我们就分析在什么情况下可能会存在公因子。n是奇数，那么n，n-1，n-2一定是两奇加一偶的情况。公因子2直接pass，因为只有一个偶数。假设剩下的n,n-2中有一个数能被3整除，那么有公因子的数一定是n或n-2加减3才能得到的情况。为此，n，n-1，n-2的乘积不仅是最大的，而且一定两两互质。

       如果n是偶数，继续分析n*(n-1)*(n-2)，这样的话n和n-2必定有公因子2，那么就换成式子n*(n-1)*(n-3)。然后仔细思考一下，不行啊，若偶数本身就能被3整除的话，那么式子n*(n-1)*(n-3)也不成立了，n和n-3就有公因子3，再仔细思考一下，式子就变成了(n-1)*(n-2)*(n-3)，两奇夹一偶的情况。

 

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long n, number;
    cin>>n;
    if( n <= 2)
        cout<<2;
    else if(n % 2)
    {
        number = n * (n - 1) * (n - 2);
        cout<<number;
    }
    else
    {
        if( n % 3 )
            number = n * (n - 1) * (n - 3) ;
        else
            number = (n - 1) * (n - 2) * (n - 3);
        cout<<number;
    }
    return 0;
}