算法第三章上机实践报告
算法第三章《动态规划》上机实践报告
一．实践题目名称
最低通行费
二．问题描述
一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。
输入格式:
第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；
后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。
输出格式:
至少需要的费用。
输入样例:
5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33输出样例:
109样例中，最小值为109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。
三．算法描述
分析题目条件，商人从网格的左上角进，右上角出，且给定步数为2n-1，说明不能走回头路，只能向下或向右走。用二维数组dp[i][j]表示从左上角起点开始到i行j列的最小花费，因为只能从上面或左边来，故每一格花费中的一部分是将到达其上面和到达其左边格子的花费（dp值）相比较，取二者较小值的格子作为到达本格的路线来源；另一部分是本格自身的花费，两部分费用相加即从起点到此的最小花费。使用循环语句自上而下填表，右下角终点格子的dp值即题目所求。
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio>
using namespace std; int main() { int n, fee[101][101], dp[101][101]; cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) cin >> fee[i][j]; dp[1][0] = 0; dp[0][1] = 0; //初始化起点左边和上方的格子 for (int j = 2; j <= n; j++) //初始化数组第一行 dp[0][j] = 200; for (int i = 2; i <= n; i++) //初始化数组第一列 dp[i][0] = 200; for (int i = 1; i <= n; i++) //从左到右、自上而下填表for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + fee[i][j]; } cout << dp[n][n]; return 0; }
四．问题求解
1.根据最优子结构性质，列出递归方程式
dp[i][j]=min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + fee[i][j]
2.给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序
表是n维的，为方便理解起见，舍弃第一行与第一列，从dp[1][1]开始，按自上而下、从左到右（即i从1到n，j从1到n）的顺序填表，直到dp[n][n]。
3.分析该算法的时间和空间复杂度
时间复杂度：采用二重循环填表，时间复杂度为O (n2)。
空间复杂度：采用二维数组存放费用数据，空间复杂度为O (n2)。
4.心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）
本次实践难点在于分析行走的路线方向，找到“只能向右和向下走”这一解题突破口。其次是考虑边界条件并初始化舍弃的第一行第一列，先把起点上方和左边的格子置零，再把整个数组除所用数据以外全都设成比较大的数，从而忽略边界问题，使递推方程式在每一格都适用。
五．对动态规划算法的理解和体会
1.动态规划算法与分治法类似，基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原问题的解。与之不同的是，动态规划算法通常用一个表来记录所有已解决的子问题的答案（无论该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中），以达到避免大量重复计算的目的。
2.动态规划法的运用步骤：
①找出最优解的性质，分析它位于表的哪个位置。
②递归定义最优值，写出递归方程式。
③确定填表的起点和方向。
④根据计算最优值得到的信息构造最优解。
