CF 板刷记录

CF1748E (*2300)

经过观察可以发现符合要求的 b 序列的充要条件是和 a 的笛卡尔树相同。

这个笛卡尔树比较特别，单看权值时是一个大根堆不是小根堆，把权值取反即可，差不多的。

想到笛卡尔树就好办了，建出笛卡尔树然后在上面 dp 即可。

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CF 1737D (*2200)

先说结论：最短路一定是将某一条边变为连接 1 和 n ，然后直接走这条边。容易反证得出。

那么我们现在的问题就是求出对于每一条边，同时经过两个端点和这条边的最短路径，求出来之后乘以边权再取最小值即可。

做法很多，但是既然 n 这么小就还是 Floyed 好了。

总时间复杂度 \(O(n^3+nm)\)。

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CF 1726E (*2400)

很厉害的数数题。

首先有一个性质：将 \(i\) 与 \(p_i\) 连边，则只会出现一元环，二元环和四元环，且四元环形如 \((i,i+1,j,j+1)\)。

然后开始统计，一元环和二元环的情况是平凡的，容易递推得到：\(f_i=f_{i-1}+(i-1)f_{i-2}\)。

考虑四元环，此时我们已经求出了 \(f\)，不妨枚举四元环的个数，设为 \(i\)。

首先从 \(n\) 个数中选出 \(2i\) 个相邻数对乘以 \(\tbinom{n-2i}{2i}\)，其中有一半是翻转的，乘以 \(\tbinom{2i}{i}\)，最后两两任意组合为 \(i!\)。

最终递推式为：

\[\sum\limits^{n/4}_{i=0}\dbinom{n-2i}{2i}\dbinom{2i}{i}i!f_{n-4i} \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

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CF 1725L (*2400)

这波，这波是复刻经典。

考过 NOIP 2021 的同学都不难发现这个操作是交换相邻两个前缀和，不能交换最后两个。

那么如果有前缀和小于 \(0\) 或者前 \(n-1\) 个数中有的数前缀和比第 \(n\) 个大则无解。

反之求一下逆序对即可。

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