算法中的离散化

离散化

在算法竞赛中，我们经常遇到这样的问题：数据范围巨大（例如 10^9），但实际出现的不同数值却很少（例如 10^5）。如果直接按照值域开数组，内存会爆炸，时间也会超限。这时就需要一种技巧 —— 离散化。本文将深入讲解离散化的概念、实现方法，并提供完整的 C++ 代码示例。

什么是离散化？

离散化，就是把无限空间（或极大范围）中的有限个体，映射到紧凑的有限区间中，同时不改变它们的相对大小顺序。

通俗的比喻：你有一张全国所有城市的气温表，温度值精确到小数点后 8 位，但一共只记录了 10 万个城市。你想统计“不同温度”的出现次数。显然不能用 [-100, 100] 的实数轴开数组。离散化会先将这些温度值排序、去重，然后给每个温度分配一个 1, 2, 3, ... 的整数编号。之后用这个编号作为数组下标，一切变得简单高效。

为什么算法竞赛离不开离散化？

• 内存限制：直接以原值为下标往往需要巨大的数组（例如 int a[1e9] 需要 4GB）。
• 时间优化：很多算法的复杂度与值域大小成正比（如计数排序、树状数组、线段树）。离散化后将值域压缩为 O(N)，使这些算法可行。
• 忽略无关细节：当问题只关心元素之间的大小关系，而不关心具体数值的差值时，离散化是完美的简化。

离散化的标准三步骤（C++ 实现）

1. 收集所有待离散化的值（例如原始数组 a[]）。
2. 排序 + 去重。
3. 对每个原值，通过二分查找得到它的排名（索引）。

C++ 标准库提供了 std::sort、std::unique 和 std::lower_bound，让实现变得极其简洁。

基础代码模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 离散化函数：将原始数组 a 映射为从 1 开始的连续整数，结果存放在 b 中
vector<int> discretize(const vector<int>& a) {
    vector<int> tmp = a;                // 复制一份
    sort(tmp.begin(), tmp.end());       // 排序
    tmp.erase(unique(tmp.begin(), tmp.end()), tmp.end()); // 去重

    vector<int> b(a.size());
    for (size_t i = 0; i < a.size(); ++i) {
        // lower_bound 返回第一个 >= a[i] 的迭代器，减去 tmp.begin() 得到下标（从0开始）
        // 如果想要从 1 开始，就 +1
        b[i] = lower_bound(tmp.begin(), tmp.end(), a[i]) - tmp.begin() + 1;
    }
    return b;
}

int main() {
    vector<int> original = {1000000000, 2, 5, 2, 1, 1000000000, 3};
    vector<int> compressed = discretize(original);

    cout << "原始数据：";
    for (int v : original) cout << v << " ";
    cout << endl;

    cout << "离散化后：";
    for (int v : compressed) cout << v << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}