对顶堆

对顶堆（Double-Heap）

简介

对顶堆是一种用于动态维护数据流中位数的常用技巧。它利用一个大根堆和一个小根堆，在数据不断插入时高效地获取当前中位数（或其他分位数）。

核心思想

• 大根堆（max-heap）：存储数据中较小的一半，堆顶为这部分的最大值。
• 小根堆（min-heap）：存储数据中较大的一半，堆顶为这部分的最小值。

保持两堆元素数量平衡：

• 总元素个数为奇数时，大根堆多存一个元素，其中位数就是大根堆堆顶。
• 总元素个数为偶数时，两堆元素数相等，中位数为（大根堆堆顶 + 小根堆堆顶）/ 2。

操作步骤

插入元素 x

1. 若大根堆为空或 x ≤ 大根堆堆顶，则插入大根堆；否则插入小根堆。
2. 平衡两堆大小：
   • 若 大根堆.size() > 小根堆.size() + 1，将大根堆堆顶移至小根堆。
   • 若 小根堆.size() > 大根堆.size()，将小根堆堆顶移至大根堆。

查询中位数

• 若两堆大小相等：(大根堆堆顶 + 小根堆堆顶) / 2.0
• 若大根堆多一个元素：大根堆堆顶

复杂度

• 插入：O(log n)
• 查询中位数：O(1)

应用场景

• 数据流中的中位数（LeetCode 295）
• 动态统计中的实时分位数
• 滑动窗口中的中位数（配合延迟删除）

代码示例

C++

#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

class MedianFinder {
private:
    priority_queue<int> maxHeap; // 大根堆，存较小的一半
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap; // 小根堆，存较大的一半

public:
    void addNum(int num) {
        if (maxHeap.empty() || num <= maxHeap.top()) {
            maxHeap.push(num);
        } else {
            minHeap.push(num);
        }

        // 平衡两堆大小
        if (maxHeap.size() > minHeap.size() + 1) {
            minHeap.push(maxHeap.top());
            maxHeap.pop();
        } else if (minHeap.size() > maxHeap.size()) {
            maxHeap.push(minHeap.top());
            minHeap.pop();
        }
    }

    double findMedian() {
        if (maxHeap.size() == minHeap.size()) {
            return (maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2.0;
        } else {
            return maxHeap.top();
        }
    }
};