Trie（字典树）
Trie（字典树）
[字典树](Trie Tree) 是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串）。
它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。
——百度 · 百科
理解son[] []：存储子节点的位置，最多26条分支
- Tire树本质上一个多叉树，最多可以分多少叉呢？因为此题存的都是小写字母，所以是26叉.
- 这里就解释了son这个二维数组的第二维的含义，就是他最多有26个孩子，那么他是谁呢，他当然是结点了，那结点之间怎么区分，或者这些孩子的爸爸叫啥，爸爸们用下标来区别，所以第一维就是爸爸们的id，son[0] [1]含义就是0号爸爸有个儿子b ，那son[0] [1] = 2，就是0号爸爸有个儿子b，儿子的id是2； 这些id就是由idx 来统一管理分配
son[0] [u] 这个的含义就是根节点它的孩子u结点的下标，跟单链表里的next指针其实是一样的。
不过有区别的一点是我们的单链表它的孩子只有一个，是一条链子。
但是我们的Trie是后面可能有26个孩子(因为英文字母只有26个)，即有26种路径可以选的单链表。
理解idx:
idx：同链表，表示当前要插入的节点是哪一个，每创建一个节点idx+1（idx 当前用到了哪个下标 初值为0 即为空节点 也是根节点）
acwing：Trie统计字符串
维护一个字符串集合，支持两种操作：
I x向集合中插入一个字符串 xx；Q x询问一个字符串在集合中出现了多少次。共有 NN 个操作，输入的字符串总长度不超过 105105，字符串仅包含小写英文字母。
输入格式
第一行包含整数 NN，表示操作数。
接下来 NN 行，每行包含一个操作指令，指令为
I x或Q x中的一种。输出格式
对于每个询问指令
Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 xx 在集合中出现的次数。每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤2∗1041≤N≤2∗104
输入样例：
5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab输出样例：
1
0
1
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
// son[N][26] 存储子节点的位置，最多26条分支
// cnt[] 存储以某节点为结尾的字符串的个数（同时起到标记作用）
// idx：同链表，表示当前要插入的节点是哪一个，每创建一个节点idx+1（idx 当前用到了哪个下标 初值为0 即为空节点 也是根节点）
int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];
void insert(char *str)
{
int p = 0; // p是从根节点开始遍历的
for(int i = 0; str[i]; i++) // 字符串以'/0'结尾
{
int u = str[i] - 'a'; // 将字符映射为数字（字典树）0~25
if(son[p][u] == 0) son[p][u] = ++idx; // 如果该元素还没有创建则创建节点
p = son[p][u]; // 指针p移动
}
// 插入完之后p指向了该字符串的最后一个元素（节点）
cnt[p] ++; // 结束时的标记，也是记录以此节点结束的字符串个数
}
int query(char *str)
{
int p = 0; // 查询也是从根节点开始的
for(int i = 0; str[i]; i++)
{
int u = str[i] - 'a';
if(son[p][u] == 0) return 0; // 树中未找到该元素，则表明无此串
p = son[p][u]; // 找到则p移动
}
// 最后都存在（找到）返回该串出现的次数
return cnt[p];
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n --)
{
string opt;
cin>> opt >> str;
if(opt == "I") insert(str);
else cout<< query(str) << endl;
}
return 0;
}
acwing：最大异域对
在给定的 NN 个整数 A1，A2……ANA1，A2……AN 中选出两个进行 xorxor（异或）运算，得到的结果最大是多少？
输入格式
第一行输入一个整数 NN。
第二行输入 NN 个整数 A1A1～ANAN。
输出格式
输出一个整数表示答案。
数据范围
1≤N≤1051≤N≤105,
0≤Ai<2310≤Ai<231输入样例：
3
1 2 3** 输出样例：**
3
字典树不光可以用来存储字符，还可能存储整数！
1、 son数组定义是二维数组，son[ n ] [ m ]我在初学Trie树的时候很难理解，可以先理解它的第二维度，只有两种状态0/1，是因为这一位表示的是某个数字的的某一位是0 / 1，而第一维的大小是我们用的十位二进制表示下一共有多少位数，在本题中，数字一共有N个数字，N是小于10^5的，一个数在int下是32位，则我们需要至少3200000的一维坐标，而p = son[n] [0] / p = son[n] [1]其实存的值就是他的两个子节点的一维坐标的值。
那么x >> i & 1 其实就是我想知道x的二进制表示中的第i位(二进制位从第0位开始表示第0位 - 第 31 位)，本题的题目范围到2^31那么就是i从30 - 0。
2、构建逻辑其实相对简单，就是将数的二进制表示插入到son数组中，如果没有那么就将他的值附上++idx即可
3、查询的时候为了异或大小最大，那么就应该从根节点开始遍历最高位开始尽量让异或结果为1，因此在遍历查询数字的时候，尽量找与它自己不相同的数。取到第i位的时候第i位的值为u，查看son[u] [!s]（不同方向上）是否存在，如果存在那么将res = (res << 1) + !u(这一位异或存在最大值为1),如果没有那么就让p = son[p] [u]。
暴力：超时
【参考代码】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = N * 2;
int son[M][2], a[N];
int idx;
int main()
{
int n, res = 0;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < i; j ++ )
res = max(res, a[i] ^ a[j]);
cout << res;
return 0;
}
字典树：O（n*logn）
【参考代码】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 3100010;
int n;
int a[N], son[M][2], idx;
void insert(int x) // 插入操作同字符串
{
int p = 0;
for(int i = 30; i >= 0; i--)
{
int u = x >> i & 1;
if(son[p][u] == 0) son[p][u] = ++ idx;
p = son[p][u];
}
}
int query(int x)
{
int p = 0, res = 0;
for(int i = 30; i >= 0; i--)
{
int u = x >> i & 1;
if(son[p][!u]) //如果另外一个方向存在的话就走到另外一个方向上去
{
p = son[p][!u];
res = (res << 1) + !u; // 左移一位然后加上当前位的数
}
else //如果另外一个方向不存在的就只能接着往下走（找不到只好将就了）
{
p = son[p][u];
res = (res << 1) + u; // 左移等价于乘2 ： res = res * 2 + u
}
}
// 返回整个路径记录的答案
return res;
}
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin>>a[i];
int ans = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
// 为了避免边界条件的判断（树为空时），因此我们先插入再查询与当前a[i]最匹配的数
insert(a[i]);
int t = query(a[i]);
// 边插入边查询
ans = max(ans, a[i] ^ t);
}
cout << ans;
return 0;
}
关于res = (res << 1) + !u理解：res是用来记录最好配对数的路径，例如，假设当前res的路径res = 1101，如果下一位的数是1，更新res，则将1101左移一位（11010），然后加上1（11011）；如果下一位的数是0，更新res，则将1101左移一位（11010），然后加上0（11010）
