图灵完备——四与非门构建异或门

0x00 解答

玩图灵完备的时候发现有一个成就时仅使用四个与非门构建异或门，化简来化简去一直都是至少5个，对这个成就感觉非常疑惑。
一番搜索后得到了一个非常精妙的表达式

\[F=F=\overline{\overline{\overline{AB}\cdot B}\cdot\overline{\overline{AB}\cdot A}} \]

这个表达式虽然略微复杂了一点，但是仔细观察可以发现，里边有一个共同项：\(\overline{AB}\)，所以实际使用与非门4个。实际电路图：

0x01 推理

根据异或的真值表有，

\[F=\overline{A}B+A\overline{B} \]

应用德摩根定律可以得到全部使用与非的表达式，

\[F=\overline{\overline{\overline{A}B}\cdot\overline{A\overline{B}}} \]

这里表达式和答案已经非常接近了，那么应该如何得到这一个公共项\(\overline{AB}\)呢？
我们不妨倒推一下。（因为当时顺推推不下去了）
根据德摩根定律有

\[\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B} \]

所以有

\[\begin{aligned} \overline{AB}\cdot A\;&=(\overline{A}+\overline{B})\cdot A \\ &=\overline{A}A+\overline{B}A \\ &=0+\overline{B}A \\ &=\overline{B}A \end{aligned} \]

同理有，

\[\overline{AB}\cdot B=\overline{A}B \]

这里很机智地添加了一个零项，手动构造了一个相同项，用这种办法降低了电路的复杂度。只能说很佩服这些做芯片的和研究数学的。