02-4线性代数-向量组

向量组：有限个相同维数的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组

 

向量组是有多个向量构成，可以表示为矩阵。

秩：独立向量的个数

 

线性组合

线性表示

向量组的线性表示

向量组的相关无关​

向量组的线性关系​​主要指的是向量组内部各个向量之间的线性相关性​。

几何意义​​：

• 在二维或三维空间中，线性相关意味着向量共线或共面。
• ​​示例​​：
  • 向量组 $\{(1,0),(2,0)\}$ 线性相关，因为第二个向量是第一个的2倍。
  • 向量组 $\{(1,0),(0,1)\}$ 线性无关，因为它们不共线。

判定方法​​：

• ​​矩阵的秩​​：将向量作为列（或行）构成矩阵，若秩小于向量个数，则线性相关。
• ​​行列式​​（仅限方阵）：若行列式为零，则线性相关。

向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合。

两个向量组之间的关系​

1. 线性表出​​：

   • 若向量组 $B$ 中的每个向量均可由向量组 $A$ 线性组合表示，则称 $B$ 可由 $A$ ​​线性表出​​。
   • ​​示例​​：
     • 向量组 $A=\{(1,0),(0,1)\}$ 可线性表出向量组 $B=\{(2,3),(4,5)\}$，因为 $B$ 中的向量均可表示为 $A$ 的线性组合。

2. ​​等价向量组​​：

   • 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们​​等价​​。
   • ​​性质​​：等价向量组生成的子空

​​类型​​	​​描述对象​​	​​典型问题​​	​​示例​​
向量内部线性关系	单个向量组内各向量的关系	判断向量组是否线性相关/无关	$\{(1,2),(2,4)\}$ 线性相关
两个向量组之间的关系	两个向量组之间的生成关系	判断一个向量组能否表出另一个	$A$ 能否生成 $B$ 的所有向量

纠正​​：术语“线性关系”特指单个向量组内部的线性相关性。两个向量组之间的关系需用更具体的术语（如等价、线性表出）描述。

极大线性无关组