集合概念及其运算

集合的概念

子集的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，若 \(A\) 中的所有元素都属于 \(B\)，则称 \(A\) 是 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\)，该定义的核心含义是

\[A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A, x \in B \]

不包含于的定义

\[A \nsubseteq B \Leftrightarrow \exists x \in A, x \notin B \]

真子集的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，若 \(A\) 是 \(B\) 的子集且存在 \(B\) 中的某元素不属于 \(A\)，则称 \(A\) 是 \(B\) 的真子集，记作 \(A \subset B\)，该定义的核心含义是

\[A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \wedge (\exists x \in B, x \notin A) \]

结论

1. \(A \subseteq A\)
2. \(A \subseteq B, B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C\)
3. \(\varnothing \subseteq A\)

证明「\(\varnothing \subseteq A\)，其中 \(A\) 为任意集合」
证明的命题要先用定义将其展开，即证「若 \(x \in \varnothing\)，则 \(x \in A\)，其中 \(A\) 为任意集合」
证法一：通过逆否命题证明，即证「若 \(x \notin A,\)，则 \(x \notin \varnothing\)」，显然成立。
证法二：通过如下知识来证明：

设 \(p, q\) 是命题，则 \(p \rightarrow q\) 是复合命题
对于复合命题，我们有约定：当且仅当 \(p = True, q = False\) 时，命题才为假

很明显，\(x \in \varnothing\) 是假的，所以原命题是真的

集合相等的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，若 \(A\) 包含于 \(B\) 且 \(B\) 包含于 \(A\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相等，记作 \(A = B\)，该定义的核心含义是

\[A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A \]

集合不相等的定义

\[A \neq B \Leftrightarrow A \nsubseteq B \vee B \nsubseteq A \]

结论

1. \(A = A\)
2. \(A = B, B = C \Rightarrow A = C\)
3. \(A = B \Rightarrow B = A\)

幂集的定义

设 \(A\) 是一个集合，\(A\) 的所有子集构成的集合称为 \(A\) 的幂集，记作 \(\mathcal{P} (A)\) 或 \(2^A\)，该定义的核心含义是

\[\mathcal{P}(A) = \{ X \mid X \subseteq A \} \]

集合的运算

并集的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，所有属于集合 \(A\) 或属于集合 \(B\) 的元素组成的集合称为 \(A\) 与 \(B\) 的并集，记作 \(A \cup B = \{ x \mid x \in A \vee x \in B \}\)，该定义的核心含义是

\[x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B, \]

否定形式为 \(x \notin A \cup B \Leftrightarrow x \notin \wedge x \notin B\)

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合，则

1. 交换律：\(A \cup B = B \cup A\)
2. 结合律：\(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
3. 单位元：\(A \cup \varnothing = A\)
4. 吸收律：\(A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B\)
5. \(A_{I_1} \cup A_{I_2} \cup \cdots \cup A_{I_m}\) 有意义，且记作 \(\bigcup_{i \in I} A_i\)，\(x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \exists i \in I, x \in A_i\)

交集的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，所有属于集合 \(A\) 且属于集合 \(B\) 的元素组成的集合称为 \(A\) 与 \(B\) 的交集，记作 \(A \cap B =\{ x \mid x \in A \wedge x \in B \}\)，该定义的核心含义是

\[x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B, \]

否定形式为 \(x \notin A \cap B \Leftrightarrow x \notin \vee x \notin B\)

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合，则

1. 交换律：\(A \cap B = B \cap A\)
2. 结合律：\(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
3. 零元：\(A \cap \varnothing = \varnothing\)
4. 吸收律：\(A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B\)
5. \(A_{I_1} \cap A_{I_2} \cap \cdots \cap A_{I_m}\) 有意义，且记作 \(\bigcap_{i \in I} A_i\)，\(x \in \bigcap_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \forall i \in I, x \in A_i\)

不相交的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，若 \(A\) 与 \(B\) 的交集是空集，则称 \(A\) 与 \(B\) 不相交

运算的混杂——分配律

\[\begin{matrix} A \cap (\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} (A \cap A_i) \\ A \cup (\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} (A \cup A_i) \end{matrix} \]

证明第一个等式

欲证两个集合相等，即证两个集合互相包含，记 \(A \cap (\bigcup_{i \in I} A_i)\) 为 \(X\)，\(\bigcup_{i \in I} (A \cap A_i)\) 为 \(Y\)，即证 \(X \subseteq Y \wedge Y \subseteq X\)
(1) 证明 \(X \subseteq Y\)
根据定义，只需要推导出 \(X\) 中的所有元素都属于 \(Y\) 即可
\(\because x \in X\)
\(\therefore x \in A \wedge (x \in A_{I_1} \vee x \in A_{I_2} \vee \cdots \vee x \in A_{I_m})\)
\(\therefore (x \in A \wedge x \in A_{I_1}) \vee \cdots \vee (x \in A \wedge x \in A_{I_m})\)
\(\therefore (x \in A \cap A_{I_1}) \vee \cdots \vee (x \in A \cap A_{I_m})\)
\(\therefore x \in \bigcup_{i \in I} (A \cap A_i)\)
故而 \(X \subseteq Y\)
(2) 证明 \(Y \subseteq X\)
根据定义，只需要推导出 \(Y\) 中的所有元素都属于 \(X\) 即可
\(\because x \in Y\)
\(\therefore (x \in A \wedge x \in A_{I_i}) \vee \cdots \vee (x \in A \wedge x \in A_{I_m})\)
分情况讨论，满足元素满足上述条件的话，需要满足两个条件：
(a) \(x \in A\)
(b) \(\exists i \in I, x \in A_i\)
\(\therefore x \in A \wedge \exists i \in I, x \in A_i\)
\(\therefore x \in X\)
综上，\(X = Y\)，即 \(A \cap (\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} (A \cap A_i)\)

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合

1. \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
2. \(A \cap (A \cup B) = A\)
3. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
4. \(A \cup (A \cap B) = A\)

差集的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，所有属于集合 \(A\) 但 不属于集合 \(B\) 的元素的集合称为\(A\) 与 \(B\) 的差集，记作 \(A \ \verb|\| \ B\)，该定义的核心含义是

\[x \in A \ \verb|\| \ B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B \]

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合
\(A \cap (B \ \verb|\|\ C) = (A \cap B) \ \verb|\| \ (A \cap C)\)

对称差的定义

设 \(A, B\) 是两个集合，所有属于集合 \(A\) 但 不属于集合 \(B\) 或属于集合 \(B\) 但不属于集合 \(A\) 的元素的集合称为\(A\) 与 \(B\) 的对称差，记作 \(A \ \verb|\| \ B\)，该定义的核心含义是

\[x \in A \Delta B \Leftrightarrow x \in (A \ \verb|\| \ B ) \cup (B \ \verb|\| \ A) \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A) \]

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合

1. \(A \Delta B = B \Delta A\)
2. \(A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C\)
3. \(A \Delta A = \varnothing\)
4. \(A \Delta \varnothing = A\)
5. \(A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)

补集的定义

设 \(A, S\) 为两个集合，\(A \subseteq S\)，则所有 \(S\) 中不属于 \(A\) 的元素构成的集合称为 \(A\) 在 \(S\) 中的补集，记作 \(A^c\)，该定义的核心含义是

\[x \in A^c \Leftrightarrow x \in S \wedge x \notin A \]

定理

设 \(A, S\) 是两个集合，\(A \subseteq S\), \(\{ A_i \}_{i \in I}\) 是集族

1. \(S^c = \varnothing \ (S \ \verb|\| \ S = \varnothing)\)
2. \(\varnothing ^c = S \ (S \ \verb|\| \ \varnothing = S)\)
3. \(A \cup A^c = S \ (A \cup (S \ \verb|\| \ A) = S)\)这个定理是补集的特征定理，可取代定义
4. \(A \cap A^c = \varnothing \ (A \cap (S \ \verb|\| \ A) = \varnothing)\)，这个定理是补集的特征定理，可取代定义
5. \(( \bigcap A_i)^c = \bigcup A_i^c\)（De Morgan 公式）
6. \(( \bigcup A_i)^c = \bigcap A_i^c\)（De Morgan 公式）

对偶原理

若存在一个关系式是关于集合的 并、交、补的关系式，则将该关系式中的 \(\cap ,\cup, =, \subseteq , \supseteq\) 分别换成 $\cup, \cap, =, \supseteq, \subseteq $，原关系式仍然成立

笛卡尔积

序对的概念

设 \(S\) 是运算对象的集合，\(x, y, a, b \in S\)，\((a, b)\) 称为一个序对，\((x, y) = (a, b) \Leftrightarrow x = a \wedge y = b\)

两个集合的笛卡尔积的定义

设 \(A, B, S\) 是三个集合，且 \(A, B \subseteq S\)，则由 \(A\) 中的元素与 \(B\) 中的元素两两组合成的序对构成的集合称为 \(A\) 与 \(B\) 的笛卡尔积，记作 \(A \times B\)，即 $$A \times B = { (x, y) \mid x \in A \wedge y \in B }$$

n 元组

因为仅有序对的概念，无法将多个对象做笛卡尔积，所以下面引出 n 元组的概念。根据序对扩展，很容易得到 n 元组：\((a_1, a_2, \cdots, a_n)\)

多个集合的笛卡尔积的定义

设 \(A_1, A_2, \cdots , A_n\) 为若干个集合，其笛卡尔积记为 \(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n\)，可简记为 \(\prod _{i = 1}^n A_i\)，即$$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = {(a_1, a_2, \cdots ,a_n) \mid \forall 1 \le i \le n, a_i \in A_i} $$

定理

设 \(A, B, C\) 是三个集合，

1. \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)
2. \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\)
3. \(A \times (B \ \verb|\| \ C) = (A \times B) \ \verb|\| \ (A \times C)\)

有穷集合的基数

映射的定义

设 \(X, Y\) 为集合，若存在一个法则 \(f\)，使得在这个法则下，对 \(X\) 中的每个元素，在 \(Y\) 中都有唯一一个元素与该元素对应，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记为 \(f: X \rightarrow Y\)

设 \(X, Y\) 为两个集合，\(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射。对 \(\forall x_i, x_j \in X\)，都有 \(x_i \neq x_j \rightarrow f(x_i) \neq f(x_j)\)，则称 \(f\) 是单射

设 \(X, Y\) 为两个集合，\(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射。对 \(\forall y \in Y\)，都 \(\exists x \in X\) 使得 \(f(x) = y\)，则称 \(f\) 是满射

设 \(X, Y\) 为两个集合，\(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射。若 \(f\) 既是单射又是满射，则称其为双射

双射即一一对应，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么某种意义上，我们可以认为这两个集合是一样的，只不过重新命名了而已，其本质还是一样的。

集合有穷的定义

设 \(X\) 是一个集合，若 \(X = \varnothing\)，则其为有穷的，其基数为零，记作 \(\vert X \vert = 0\)；若 \(X \neq \varnothing\)，且存在一个自然数 \(n\) 使得 \(X\) 与 \(\{ 1, 2, \cdots , n \}\) 之间存在一一对应，则 \(X\) 是有穷的，其基数为 \(n\)，记作 \(\vert X \vert = n\)

计数法则

设 \(A, B, C\) 均为集合

1. \(A \cap B = \varnothing \rightarrow \vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert\)
2. \(\vert A \times B \vert = \vert A \vert \times \vert B \vert\)
3. 容斥原理 / 逐步淘汰原理（加多了减，减多了加）
   • \(\vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert\)
   • \(\vert A \cup B \cup C \vert = \vert A \vert + \vert B \vert + \vert C \vert - \vert A \cap B \vert - \vert A \cap C \vert - \vert B \cap C \vert + \vert A \cap B \cap C \vert\)
4. \(\vert A^c \cap B^c \cap C^c \vert = \vert S \vert - \vert A \cup B \cup C \vert\)