AIGC标识 [随笔260913] Martingales, Stopping Times, and Convergence Theorems（鞅，停时与收敛定理）

手伤了，直接用 AI 了。

1. 滤子、条件期望与鞅的定义

1.1 概率空间与滤子 (Filtered Probability Space)

设 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) 为完备概率空间。

  • 滤子 (Filtration)：称一族递增的子 \(\sigma\)-代数流 \(\mathbb{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 为滤子，若其满足：

    \[\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}_n \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F} \]

    赋予滤子的概率空间记为 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})\)。记 \(\mathcal{F}_\infty = \sigma\left(\bigcup_{n=0}^\infty \mathcal{F}_n\right)\)。
  • 适应过程 (Adapted Process)：随机过程 \(X = \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 称为适应于 \(\mathbb{F}\) 的，若对每个 \(n \in \mathbb{N}_0\)，\(X_n\) 均为 \(\mathcal{F}_n\)-可测随机变量。

1.2 鞅的严格定义

设实值随机过程 \(X = \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 适应于 \(\mathbb{F}\)，且满足对任意 \(n \in \mathbb{N}_0\) 均有 \(X_n \in L^1(\mathbb{P})\)（即 \(\mathbb{E}[|X_n|] < \infty\)）。

  1. 鞅 (Martingale)：若对任意 \(n \in \mathbb{N}_0\)，

    \[\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n \quad \text{a.s.} \]

  2. 下鞅 (Submartingale)：若对任意 \(n \in \mathbb{N}_0\)，

    \[\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] \ge X_n \quad \text{a.s.} \]

  3. 上鞅 (Supermartingale)：若对任意 \(n \in \mathbb{N}_0\)，

    \[\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] \le X_n \quad \text{a.s.} \]

性质 1.1 (期望单调性)：

  • 若 \(X\) 为鞅，则对任意 \(m \ge n \ge 0\)，\(\mathbb{E}[X_m \mid \mathcal{F}_n] = X_n\) a.s.，从而 \(\mathbb{E}[X_m] = \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X_0]\)。
  • 若 \(X\) 为下鞅（上鞅），则映射 \(n \mapsto \mathbb{E}[X_n]\) 单调递增（单调递减）。

1.3 凸变换与下鞅生成

定理 1.1 (Jensen 条件不等式应用)

  1. 设 \(X\) 为鞅，\(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 为凸函数。若对任意 \(n\)，\(\mathbb{E}[|\phi(X_n)|] < \infty\)，则 \(\phi(X) = \{\phi(X_n)\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 为下鞅。
    • 特例：若 \(X\) 为鞅，则 \(|X|\) 为下鞅；若进一步 \(X_n \in L^p(\mathbb{P})\) (\(p \ge 1\))，则 \(|X|^p\) 为下鞅。
  2. 设 \(X\) 为下鞅，\(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 为非减凸函数。若 \(\mathbb{E}[|\phi(X_n)|] < \infty\)，则 \(\phi(X)\) 为下鞅。

2. 停时与可选抽样定理 (Optional Stopping Theorem)

2.1 停时及其代数结构

  • 定义 (停时)：映射 \(\tau: \Omega \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\}\) 称为关于 \(\mathbb{F}\) 的停时 (Stopping Time)，若满足：

    \[\forall n \in \mathbb{N}_0, \quad \{\omega \in \Omega : \tau(\omega) \le n\} \in \mathcal{F}_n \]

    （在离散时间情形下，该条件等价于 \(\{\tau = n\} \in \mathcal{F}_n\)）。
  • 停时 \(\sigma\)-代数：定义 \(\mathcal{F}_\tau = \{A \in \mathcal{F} : A \cap \{\tau \le n\} \in \mathcal{F}_n, \; \forall n \in \mathbb{N}_0\}\)。它刻画了系统在随机时刻 \(\tau\) 之前所积累的历史信息。

2.2 停止过程 (Stopped Process)

设 \(X\) 为随机过程，\(\tau\) 为停时。定义停止过程 \(X^\tau = \{X_n^\tau\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 为：

\[X_n^\tau(\omega) := X_{n \wedge \tau(\omega)}(\omega), \quad \text{其中 } a \wedge b := \min\{a, b\} \]

定理 2.1 (稳定性定理)
若 \(X\) 是关于 \(\mathbb{F}\) 的鞅（相应地下鞅、上鞅），\(\tau\) 是 \(\mathbb{F}\)-停时，则停止过程 \(X^\tau\) 亦是关于 \(\mathbb{F}\) 的鞅（相应地下鞅、上鞅）。
特别地，对任意有穷常数 \(n\)：

\[\mathbb{E}[X_{n \wedge \tau}] = \mathbb{E}[X_0] \]

2.3 杜布可选抽样定理 (Doob's Optional Stopping Theorem)

一般情况下，\(\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_{n \wedge \tau}] = \mathbb{E}[X_\tau]\) 不必然成立（极限与期望积分不可随意交换次序）。

定理 2.2 (可选抽样定理的标准形式)
设 \(X\) 为鞅，\(\tau\) 为停时。若满足下列条件之一：

  1. 有界性：\(\tau\) 本质有界，即存在常数 \(K < \infty\)，使得 \(\mathbb{P}(\tau \le K) = 1\)。
  2. 过程在停止前一致有界：\(\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1\)，且存在常数 \(M < \infty\)，使得对所有 \(n \in \mathbb{N}_0\) 均有 \(|X_{n \wedge \tau}| \le M\) a.s.。
  3. 期望停时有限且增量有界：\(\mathbb{E}[\tau] < \infty\)，且存在常数 \(c < \infty\)，使得 \(\mathbb{E}[|X_{n+1} - X_n| \mid \mathcal{F}_n] \le c\) 对所有 \(n < \tau\) 成立。
  4. 一致可积性：停止过程族 \(\{X_{n \wedge \tau}\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 是一致可积的 (Uniformly Integrable)。

则 \(X_\tau \in L^1(\mathbb{P})\)，且有：

\[\mathbb{E}[X_\tau] = \mathbb{E}[X_0] \]

广义形式（两停时比较）：
若 \(\sigma \le \tau\) 为两个停时，且上述适当的可积性条件得到满足，则对下鞅有：

\[X_\sigma \le \mathbb{E}[X_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma] \quad \text{a.s.} \]

若为鞅，则等式成立。

3. 杜布极大值不等式与穿越引理

收敛性分析依赖于对样本路径震荡的量化控制。

3.1 杜布下鞅极大值不等式 (Doob's Maximal Inequality)

设 \(X\) 为非负下鞅。记 \(X_n^* = \max_{0 \le k \le n} X_k\)。

  1. 弱型不等式 (\(L^1\) 极大值不等式)：
    对任意 \(\lambda > 0\) 与 \(n \in \mathbb{N}_0\)：

    \[\lambda \mathbb{P}\left( X_n^* \ge \lambda \right) \le \mathbb{E}\left[ X_n \mathbf{1}_{\{X_n^* \ge \lambda\}} \right] \le \mathbb{E}[X_n] \]

  2. 强型不等式 (Doob's \(L^p\) 不等式)：
    设 \(p > 1\)。若 \(X_n \in L^p(\mathbb{P})\)，则有：

    \[\| X_n^* \|_p \le \frac{p}{p - 1} \| X_n \|_p \]

    即 \(\mathbb{E}\left[(X_n^*)^p\right] \le \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \mathbb{E}[X_n^p]\)。

3.2 杜布向上穿越引理 (Doob's Upcrossing Lemma)

设 \(X\) 为下鞅，\(a < b\) 为实数。定义在时间段 \(\{0, 1, \dots, N\}\) 内过程 \(X\) 对区间 \([a, b]\) 的向上穿越次数 \(U_N[a, b]\)：

  • \(S_1 = \inf\{k \ge 0: X_k \le a\}\)
  • \(T_1 = \inf\{k \ge S_1: X_k \ge b\}\)
  • \(S_{m+1} = \inf\{k \ge T_m: X_k \le a\}\), \(T_{m+1} = \inf\{k \ge S_{m+1}: X_k \ge b\}\)
  • \(U_N[a, b] = \sup\{m: T_m \le N\}\)

引理 3.1

\[(b - a) \mathbb{E}[U_N[a, b]] \le \mathbb{E}[(X_N - a)^+] - \mathbb{E}[(X_0 - a)^+] \]

其中 \(x^+ = \max\{x, 0\}\)。

4. 鞅收敛定理 (Martingale Convergence Theorems)

4.1 几乎必然收敛：杜布前向收敛定理

定理 4.1 (Doob's Martingale Convergence Theorem)
设 \(X\) 为下鞅。若满足 \(L^1\) 有界性条件：

\[\sup_{n \in \mathbb{N}_0} \mathbb{E}[X_n^+] < \infty \quad (\text{对鞅而言，等价于 } \sup_{n \in \mathbb{N}_0} \mathbb{E}[|X_n|] < \infty) \]

则存在可积随机变量 \(X_\infty \in L^1(\mathbb{P})\)，使得：

\[X_n \xrightarrow{\text{a.s.}} X_\infty \quad (n \to \infty) \]

证明思路草图：
令 \(U_\infty[a, b] = \lim_{N \to \infty} U_N[a, b]\)。由单调收敛定理与向上穿越引理，\(\mathbb{E}[U_\infty[a, b]] \le \frac{\sup_n \mathbb{E}[(X_n - a)^+]}{b - a} < \infty\)。
这蕴含 \(\mathbb{P}(U_\infty[a, b] = \infty) = 0\)。
由于事件 \(\{\liminf_{n} X_n < a < b < \limsup_{n} X_n\} \subseteq \{U_\infty[a, b] = \infty\}\)，取遍所有有理数对 \(a < b\)，得到：

\[\mathbb{P}\left(\liminf_{n \to \infty} X_n < \limsup_{n \to \infty} X_n\right) = 0 \]

故极限 \(\lim_{n \to \infty} X_n\) a.s. 存在。由 Fatou 引理可证极限的绝对可积性。

4.2 均值收敛与一致可积性 (\(L^1\) 收敛)

几乎必然收敛一般无法推出 \(L^1\) 范数收敛（即 \(\mathbb{E}[|X_n - X_\infty|] \to 0\) 不一定成立）。二者的充要衔接条件为一致可积性。

定义 (一致可积族, UI)：随机变量族 \(\{X_i\}_{i \in I}\) 称为一致可积的，若：

\[\lim_{R \to \infty} \sup_{i \in I} \mathbb{E}\left[|X_i| \mathbf{1}_{\{|X_i| \ge R\}}\right] = 0 \]

定理 4.2 (\(L^1\)-鞅收敛定理 / 闭鞅判定)
设 \(X\) 为鞅。则以下陈述等价：

  1. \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}_0}\) 在 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) 上一致可积。
  2. 存在 \(X_\infty \in L^1(\mathbb{P})\)，使得 \(X_n \xrightarrow{\text{a.s.}} X_\infty\) 且 \(X_n \xrightarrow{L^1} X_\infty\)。
  3. 存在随机变量 \(Y \in L^1(\mathbb{P})\)，使得对任意 \(n \in \mathbb{N}_0\)：

    \[X_n = \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{F}_n] \quad \text{a.s.} \]

    （若此条件成立，则必有 \(X_\infty = \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{F}_\infty]\) a.s.，此即闭鞅 (Closed Martingale)）。

4.3 \(L^p\) 收敛定理 (\(p > 1\))

当 \(p > 1\) 时，由杜布 \(L^p\) 极大值不等式，对一致可积性的要求可由 \(L^p\) 范数有界直接保证。

定理 4.3 (\(L^p\)-鞅收敛定理)
设 \(p > 1\)，\(X\) 为鞅。若：

\[\sup_{n \in \mathbb{N}_0} \mathbb{E}[|X_n|^p] < \infty \]

则：

  1. 存在 \(X_\infty \in L^p(\mathbb{P})\)，使得：

    \[X_n \xrightarrow{\text{a.s.}} X_\infty \quad \text{且} \quad X_n \xrightarrow{L^p} X_\infty \quad (n \to \infty) \]

  2. 极大值随机变量 \(X^* = \sup_{n \ge 0} |X_n| \in L^p(\mathbb{P})\)，且满足：

    \[\| X^* \|_p \le \frac{p}{p - 1} \sup_{n \ge 0} \| X_n \|_p \]

posted @ 2026-09-13 22:19  luyiming123  阅读(21)  评论(0)    收藏  举报