[随笔260817] 梦里碰到的一道数学题

午觉梦到高三晚自习数学考试，下文是试卷 19 题。

定义集合 \(\mathcal{S}_n = \{1,2,\cdots,n\}\)，设 \(n, m \in \mathbb{N^+}\)，正整数 \(a,b\) 分别为 \(S_n, S_m\) 中等概率随机抽取的一个数;

• (1) 求二次曲线 \(\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{y}{b^2}=1\) 离心率的期望。（\(n, m\) 已知，求和形式）
• (2) 当 \(n, m\) 相等且 \(n, m \to +\infty\) 时，求二次曲线 \(\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{y}{b^2}=1\) 离心率的期望。

(1):设 \(e(a,b)\) 为二次曲线 \(\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{y}{b^2}=1\) 的离心率；易得

\[e(a,b) = \dfrac{\sqrt{|a^2-b^2|}}{\max\{a,b\}} \]

则

\[E(e) = \frac{1}{nm} \sum_{a,b} \dfrac{\sqrt{|a^2-b^2|}}{\max\{a,b\}} \]

(2)
梦里不会做这个，爆了。
直接转化成\([0,1]\)，没有本质区别。

\[\lim_{n \to \infty} E(e) = \iint_{[0,1]^2} \frac{\sqrt{|x^2 - y^2|}}{\max(x, y)} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

利用关于直线 \(y = x\) 的对称性：

\[\lim_{n \to \infty} E(e) = 2 \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{0}^{x} \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} \, \mathrm{d}y \]

令 \(y = x \sin\theta\)，内层积分化为半径为 \(x\) 的四分之一圆面积：

\[\int_{0}^{x} \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} \, \mathrm{d}y = x \int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{4} x \]

代入外层积分：

\[\lim_{n \to \infty} E(e) = 2 \int_{0}^{1} \frac{\pi}{4} x \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = {\frac{\pi}{4}} \]

问了下 AI 发现这个题是经典问题（椭圆长短半轴是在某个区间独立随机抽取的两个随机变量，求离心率期望），积分的几何意义和圆的面积有关。