这是以前写的笔记，散在不同的地方，现在收集在这个随笔里，供以后自己和合作者翻阅。写了这个笔记以后，我还会在相应代码里加上注释，因为没有人能记住大串公式的每一个细节，所以只能把笔记、博客用作外部的记忆存储器。
1. 壳模型相互作用: pn格式
在 pn 格式下，单体 + 2 体相互作用写作
\[\begin{align}
H = & H_0 + H_{pp} + H_{nn} + H_{pn} \\
& = \sum_{a \in \pi} \epsilon_a n_a + \sum_{a \in \nu} \epsilon_a n_a \\
& + \sum_{abcd \in \pi} \frac{\sqrt{(1+\delta_{ab})(1+\delta_{cd})}}{4}
\sum_{I} V_{pp}(abcd;I) \sum_{M} A^\dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \\
& + \sum_{abcd \in \nu} \frac{\sqrt{(1+\delta_{ab})(1+\delta_{cd})}}{4}
\sum_{I} V_{nn}(abcd;I) \sum_{M} A^\dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \\
& + \sum_{ac\in \pi, bd \in \nu,I} V_{pn}(abcd;I)
\sum_{M} A^{\dagger}_{IM}(a b)
A_{IM}(cd).
\end{align}
\]
其中
\[\hat{A}^\dagger_{JM}(ab) = \sum_{m_a m_b} (j_a m_a j_b m_b | JM)
\hat{c}^\dagger_{j_a m_a} \hat{c}^\dagger_{j_b m_b}, \nonumber\\
\hat{A}_{JM}(cd) = \sum_{m_c m_d} (j_c m_c j_d m_d | JM)
\hat{c}_{j_d m_d} \hat{c}_{j_c m_c},
\]
是对产生、对湮灭算符。之前的笔记中（ https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14641721.html ）已经记了 isospin 格式的相互作用如何转化过来：
\[V_{pp}(a_\pi b_\pi c_\pi d_\pi;J) = V_{nn}(a_\nu b_\nu c_\nu d_\nu) = V(abcd;J,T=1)\\
V_{pn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I) = \frac{ \sqrt{ (1+\delta_{ab}) (1+\delta_{cd}) } }{ 2 }
[V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) ].
\]
2. pn格式转化为P+Q格式
单体是不用变的，质子-质子相互作用可以写作
\[H_{pp} = \sum_{a\leq b,c\leq d } \sum_{JM} V(abcd;J1) A^{int1 \dagger}_{JM}(ab) A^{int2}_{JM}(cd).
\]
其中
\[A^{int1 \dagger}_{JM}(ab) = \frac{1}{\sqrt{1+\delta_{ab}}} \left\{ 0.5 (a^\dagger \otimes b^\dagger)_{JM} + (-1)^{1+a+b-J} 0.5 (b^\dagger \otimes a^\dagger)_{JM} \right\}, \\
A^{int2 }_{JM}(cd) = \frac{1}{\sqrt{1+\delta_{ab}}} \left\{ 0.5 (c^\dagger \otimes d^\dagger)_{JM} + (-1)^{1+c+d-J} 0.5 (d^\dagger \otimes c^\dagger)_{JM} \right\},
\]
为了节省计算量，可以定义
\[A^{ab,int2}_{JM} = \sum_{c \leq d} V(abcd;J1) A^{int2}_{JM} (cd),
\]
即得
\[H_{pp} = \sum_{a\leq b} \sum_{JM} A^{int1 \dagger}_{JM}(ab) A^{ab,int2}_{JM}.
\]
注意，壳模型相互作用文件中，一般利用了\(V(abcd;JT) = V(cdab;JT)\)项，省略了对称的项，但上面的公式既要考虑\(V(abcd;JT)\)项，也要考虑\(V(cdab;JT)\)项。
中子－中子相互也可以用上面的公式，只需将质子轨道改为中子轨道。
质子-中子相互作用为，
\[H_{pn} = \sum_{ac\in \pi; bd\in \nu} \sum_{JM} V^{pn}(abcd;J) \hat{A}^\dagger_{JM}(ab) \hat{A}_{JM}(cd).
\]
根据4个角动量的重耦合规则，可以得到
\[\sum_M \hat{A}^{\dagger}_{JM}(a_\pi b_\nu) \hat{A}_{JM}(c_\pi d_\nu)
= \sum_L (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
\left\{
\begin{aligned}
j_a ~~ j_b ~~ J\\
j_d ~~ j_c ~~ L
\end{aligned}
\right\}
\\
\times \sum_M (-1)^M Q_{LM}(a_\pi c_\pi) Q_{L,-M}(b_\nu d_\nu),
\]
其中 \(Q_L(a_\pi c_\pi)=(\hat{c}^\dagger_{a_\pi} \otimes \tilde{c}_{c_\pi})_L\),\(Q_L(b_\nu d_\nu)=(\hat{c}^\dagger_{b_\nu} \otimes \tilde{c}_{d_\nu})_L\).
所以质子-中子相互作用可写作
\[ H_{pn} = \sum_{abcd J L}
V^{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
\left\{
\begin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\\
j_d ~ j_c ~ L
\end{aligned}
\right\}
\\
\times \sum_M (-1)^M Q_{LM}(a_\pi c_\pi) Q_{L,-M}(b_\nu d_\nu),
\]
易证\(Q_{L,-M}(bd) = (-1)^{1+b+d+M} Q^\dagger_{LM}(db)\)，所以上式变为
\[ H_{pn} = \sum_{abcd J L}
V^{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
\left\{
\begin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\\
j_d ~ j_c ~ L
\end{aligned}
\right\}
\\
\times \sum_M Q_{LM}(a_\pi c_\pi) ((-1)^{1+b+d}Q_{L,M}(d_\nu b_\nu))^\dagger,
\]
我们可以定义
\[\kappa(a_\pi c_\pi, b_\nu d_\nu; L) = \sum_{J}
V_{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
\left\{
\begin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\\
j_d ~ j_c ~ L
\end{aligned}
\right\}
\]
则质子-中子相互作用为
\[H_{pn} = \sum_{abcd;LM} \kappa(a_\pi c_\pi, b_\nu d_\nu; L) Q_{LM}(a_\pi c_\pi) ((-1)^{1+b+d}Q_{L,M}(d_\nu b_\nu))^\dagger.
\]
为了减少计算量，可以进一步变形，令
\[Q^{ac}_{L} = \sum_{bd} \{ \sum_{J}
V_{pn}(abcd;J) (-1)^{j_c + j_d + J } (2J+1)
\left\{
\begin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\\
j_d ~ j_c ~ L
\end{aligned}
\right\} \} (d^\dagger_\nu \otimes \tilde{b}_\nu )_{L}.
\]
则有
\[H_{pn} = \sum_{acLM} (a^\dagger_\pi \otimes \tilde{c}_\pi)_{L,M} (Q^{ac}_{L,M})^\dagger.
\]
以 pf 壳为例，有效相互作用有 94 项 \(T=1\) 相互作用，101 项 \(T=0\) 相互作用，转化为 \(P+Q\) 形式以后，有 30 项质子/中子 \(AA\) 相互作用，60 项 \(Q_p Q_n\) 相互作用。
3. \(M\)-scheme 的 P+Q 相互作用
在 \(M\)-scheme 下的表达式上面基本已经写出来了，只是我的代码里是这么用的：
\[H^m_{pn} = \sum_{acLM} (a^\dagger_\pi \otimes \tilde{c}_\pi)_{L,M} {\mathcal Q}^{ac}_{L,-M},
\]
这里 \({\mathcal Q}^{ac}_{L,-M} \equiv + (Q^{ac}_{L,M})^\dagger\).
在 PVPC 代码中，\(J\)-scheme 的 P+Q 相互作用（常用 PQint 类型的变量 jPQ 表示）储存的是 \(Q^{ac}_L\)，而 \(M\)-scheme 的 P+Q 相互作用（常用 PQint 类型的变量 mPQ 表示）中储存的是 \({\mathcal Q}^{ac}_{L,-M} \equiv + (Q^{ac}_{L,M})^\dagger\).
