Erdos-Renyi Random Graphs
针对graph的几个定义：
Girth（\(\gamma(G)\)): shortest cycle
Independence number (\(\alpha(G)\)): graph中vertices都没有相关关系（这里的定义是两个结点之间没有连接边）的最大簇（也就是说graph中没有相互关系边，结点数目最多的结点集合）。
chromatic number（\(\chi(G)\)： 类似于bipartite graph拥有两个颜色，这里说的是Graph G当中不同的结点分属于不同的k的颜色类别，每个颜色类类别中的结点都不互相相连。
chromatic number与independence number拥有相关关系
Erd¨os-R´enyi Model：
模型定义： 图的结点数目\(n\)，一条边的概率\(p\)
markov's inequality（可以中期望的定义角度证明，从期望值会大于等于什么值反向证明）:
一般用\(Pr[\textit{X}\geq\textit{1}]\leq\textbf{E}[\textit{X}]\)
Union Bound：
Independence Number(存在一个上限值）
如果graph中每个vertex的degree最多为\(d\)，那么independent set最少是\(\frac{n}{d+1}\)
按照上面的色图理解：如果是四色图，因为同样颜色的结点不能连接，所以四色图结点最大的个数为3，从上面每个结点的degree最多是\(d\)，如果认为是d+1图，那么最少每个independent set的大小为\(\frac{n}{d+1}\)
按照上面随即图的定义，总共n个结点，每条边存在的概率为p，那么每个结点的平均degree为\(d=p(n-1)\)；
令p=1/2,那么G的independence number最大为\(3log_2n+1\)的概率值很大。
proof：g
令\(\varepsilon>0, k=[3log_2n+1],S_1, ..., S_z为子集，结点数目都为k，那么z=\binom{n}{k}, X_i为随机变量（取值0,1，当S_i为independence\ set时为1）\)
令
\(S_i\)表征的是independence set，而且我们假设每个大小都为k，如果要满足independence set的条件，那么这个集合当中，任意两个结点在原来的graph当中都应该不是相连的，其中任意两个结点都不连接的概率(\(p与k满足上面假设\))为：
所以：
当n趋于无穷的时候，上述表达式趋向于0
所以：
事实上，\(\alpha(G)更加接近与2log_2n\)
更一般化而言：
利用\(1-p \leq e^{-p}\),当\(k=\frac{3lnn}{p}+1\)时
所以：
High Girth(graph的拥有high girth和high chromatic number）
\(girth:\ g, chromatic number:\ x\)，令\(p=n^{1/2g-1}\)
(举例说明）这样的随机生成的graph，可能包含小的cycles，但是不会有很多，如果我们一处cycle长度达到g中的一个vertex，那么余下的graph中不会再用有小的环，但是这个图至少还会有2/n个vertices。
\(G^\prime=(V^\prime, E^\prime)\)为上面以除了至多n/2个vertices之后的graph，G为原图，令\(S\in V^\prime是G^\prime\)中的independent set，因此
而且，
从independent number可以知道，至少有3/4(该概率值计算需要进一步理解）的概率，或者说接近于1，
当满足上述条件且\(V^\prime \geq n/2\),
当g的大小固定时，上式中的分子增长速度大于分母的增长速度，因此对与足够大的\(n\)，\(\chi(G^\prime) \geq x\)
以下证明，G当中会存在少量长度为g的circle。
g-cycles: 有2g种描述，第一个结点有g个选择，可以走不同的两边,总共存在的组合数目：
由于每条边出现的概率为g，所以组合中每一个出现的概率值为\(p^g\),因此g-cycles存在的数量的期望值：
graph中存在长度为j的数量，当j<g时，期望数值会更少，当circle的长度，最长为g，那么期望存在的数目最多不会超过\(gn^{1/2}\);
按照markov's inequality
因为上面cycles的长度不超过g的期望值是\(gn^{1/2}\),那么在G中含有\(4gn^{1/2}\)个长度最长为g的cycles的概率值不会大于1/4(\(\frac{gn^{1/2}}{4gn^{1/2}}\))
当n足够大能够满足\(4gn^{1/2} \leq n/2\)时，那么至少有3/4的概率，\(G^\prime\)最少会有n/2个结点（根据上面\(G^\prime\)的剩余规则）。
通过上面的构造，\(G^\prime\)的girth最少为g，有3/4的概率\(G^\prime\)至少有n/2个结点，至少有3/4的概率G的independence number为\(3n^{1-1/2g}lnn\)。
union bounds定律可以知道，independence number和girth都满足上述条件的概率至少为1/2，也就是说，只有有1/2的概率\(G^\prime\)至少有\(n/2个vertices，\alpha(G)至少为3n^{1-1/2g}lnn,所以\chi(G) \geq x(当n足够大时)\).
Giant Component:
Real-world graph通常会有一个component包含大部分的vertices，second-largest component会比这个小很多数量级。
这里用Erdos-renyi random graph来表明这个现象，这个large component叫做giant component。
model参数：\(p = c/(n-1)\), c为常数项，n
可变，所以每个vertex的degree的期望值为\(c(c/(n-1)*(n-1))\)。当c<1时，每个component可能会很小，最多拥有\(\textit{O}(logn)\)个vertices，当c>1时，这个graph可能会包含a constant fraction of vertices的连通分量。
当c从0-1变化时，graph property的也会发生改变(threshold phenomenon)
Concenration and chenoff Bounds
Chernoff(and Hoeffding) bounds都是中央集中定理（central limit theorem)：所有的独立的随机变量的和都是指数集中在他们的均值附近，他们不等式的形式依赖于随机变量的类型。
Erdos-renyi model的随机变量为bernoulli random variables。
定理 令\(X_1,...,X_n为独立的Bernoulli（也就是说取值为0/1）\ random\ variables, 且Pr[X_i=1]=p_i。令X=\sum X_i，\mu=\sum p_i为X的期望值.那么对所有0<\delta<1，有\)
和
当\(p=clnn/(n-1)\),c>6时，vertex的期望degree为\mu=cln(n)。如果我们设\(\delta=\sqrt{6/c}<1\), 那么vertex的degree会超过$(1+\delta)\mu的概率值为:
degree大于\((c+\sqrt{6c})lnn以及degree小于(c-\sqrt{4c}）lnn\)的概率都最多为\(n^{-1}\).
Galton-Vaston process, binary case
通过细胞分裂的例子，分析后代存活数量。
每一次分裂，每一个个体的存活概率为\(p\),所以，第一代细胞的存活数量的期望值为\(2p\),第二代细胞的存活数量的期望值为\(4p^2\).
以此类推，k-th代细胞存活数量的期望值为\(2^kp^k=(2p)^k\).
当\(p<1/2\)时，存活梁会接近与0，\(p>1/2\)存活率为区域无穷（threshold phenomenon）。
\(p<1/2\)
令\(X^k\)为kth generation后代的counting number（random ariable），\(X^k\geq 1\)表明后代依旧存在:
\(p>1/2\)
\(\theta_k(p)\)为至少存在k-th generation的概率值，等同于k-1代至少存活一个后代。令\(A\)为first child存活到k-1代，\(B\)为second child存活到k-1代。
first child存活，并且至少有k-1个后代存活的概率为\(p\theta_{k-1}(p)\),(A,B事件发生的概率值都为\(\theta_k(p)\)）。
当\(k\)增长时，如果\(\theta_k(p)\)有一个增长上限\(q=2pq-(pq)^2\)，那么
因为\(\theta_0(p)=1, 从q的定义中可知，q能够取到的最大值为1（p==1是），p越小q值越小, 所以 1=\theta_0(p)\geq q\),
对\(f(x)进行单调性分析可知，因为x的取值范围为（0，1]，f(x)在此范围内单调递增，令f(q)=q，可知当x\in (q,1]时，f(x)\geq q\)
因为当\(k \geq 0, \theta_k(p)\geq q\).
\(a_n数列的下极限: lim\ inf\ a_n， 上极限lim\ sup\ a_n\)
\(\lim\inf\limits_{k\to\infty}\theta_k(p)=q\)
The Number of Descendants
现在每个细胞会分裂为k个后代，令\(p=c/k\),当\(c<1时属于sub-critical\ regime，c>1时为super-critical\ regime\)
这里给每个后代进行编号，保证第j代的编号都小于第j+1代的编号。
\(X_{j,1}, ..., X{j,k}\)为bernoulli random variable, \(X_{j,i}=1\)，表示cell j的第i个child存活下来。最终存活的数量为\(u\).
chernoff bounds:
\(X^{(u)}\)的期望值为
上述变量\(X_{j,i}\)暂时不考虑Galton-Waston process，只考虑存在与否。
$令Z为first organism的后代，加1是为了最开始的organism（也可以认为把自身看成一个后代）。
c<1
\(当c<1时，\mu会显著小于u值，并且Chernoff bounds也可以明显表明，X^{(u)}不大可能大于u\)
根据chernoff bounds，可以计算出\(\delta\)取值，\(\delta=\frac{1}{c}-1\),
最终得到：
This is why all the components of \(g(n, p)\) in the sub-critical case probably have logarithmic size.
c>1
super-critical case, \(对与Z=u(u足够大）的可能性非常小, 结论Z不小而且可能无穷大\)。
可以推出\(\delta=1-\frac{1}{c}\)
因此：
令
把所有有限series都相关，那么Z概率值花很大，但是还是有限值：
This is part of why the second-largest component of \(g(n,p)\) in the super-critical case probably has logarithmic size。
这意味着：
Galton Waston 总结
当\(p=c/k\)时
定理：
\(令Y为first\ organism生存下来的后代数量可以reproduce（但是不包含first organism), 如果c<1，那么对所有的u>0,有\)
\(Y与前面Z的差别为Y=Z-1\)
定理2：
\(Y定义如上，如果c>1,并且存在常量\beta_c, 不依赖于k，那么\)
以下分析，全部基于概率值\(p=c/k\)
c<1: all small components
将Erdos-renyi random graph与Galton-waston branching process结合，相当于选定一个vertex \(v\)，galton-waston过程有\(k=n-1\),（breath-first fashion）。令\(w\)为\(v\)的一个邻居，\(j\)为\(v\)的邻居数目，考虑连通分量的特性，实际上，\(w\)是否还直接连接\(v\)的邻居对改连通分量没有贡献，所以此时\(w\)只需要关注其他的\(n-j-1\)个结点，也就是Galton-waston不是分裂成n-1，而是分裂成为n-j-1，这样的变化带了的影响就是该component更小了。对于\(v\)的其他邻居，我们考虑同样的他可分裂的后代不是\(v\)的潜在孩子。
（下面这段有点奇怪，还是得重新理解一下）
c>1: the giant component
\(p=c/n\)在这种情况下，图中会出现很大的component，现在只考虑\(c \leq 2\)的问题。
从c<1 case中modified Galton-Watson process过程中已知，这个过程会减少component的大小，但是现在在c>1的情况下，我们想证明这个图当中还是会存在大的component。
为了解决这个问题，设\(d=\sqrt{c}, 因为c>1, 所以d=c/n*n>1\), 这里会探索\(当k=(2-d)n, p^\prime = d/(n-1)时，cell\ v\ 存活的情况\)。
从上面已知，现在的\(k=(2-d)n,那么已经发现的vertices为n-k=(d-1)n, 当已经发现的节点数目为(d-1)n, 那么至少还存在(2-d)n个vertices存在\)。
（未完全理解）
v邻居的Galton-Waston process的分裂中，如果其中的某一些cell分裂多于k个children，那么存活率会增加（这里是不是表明v前面没有发现那么多个节点呢？？？）。这意为这他们更可能生成一个大的component，但是当发现了(1-d)n个节点之后，这个分析就无效了，但是也可以认为此时我们已经有了一个giant component。
当一个component的大小至少为(d-1)n的时候，存在constant chance, Galton-Watson process中会有一个无穷大的component。否则，size of component 大于\(\alpha lnn\)的概率最多为\(1/n^2\)。（我们可以假定这种情况下前者存在？？？）这种情况下，发现component中还没有被放置的一个节点，通过logarithmic number的时间，我们很大的可能发现一个大的component。更多的时，logarathmic
number of small component 只会移除O(log^2n) 个vertices，对与大的n而言，这个数量可以忽略不计。
（为什么不大可能出现两个大的component，是因为这两者中间可能有边连接。）
Graph with given degree distribution
Edos-renyi random graph的degree分布为binominal degree distribution，但是更多的graph的分布为长尾分布（heavy tails）。
这里甬道的图利用的时fixing degree distribution， 也就是选择一个random graph，图符合\(k_i个vertices用有i个degree, \sum_i k_i=n.
随机图生成方式：对\)k_i$个节点设定i个socket，每次随机选择两个socket，进行边的连接，如果出现自环或者相同的边，那么就再重新sample（开销不大的时候)(Kim Wormald)
Diameter
事实上很多graph的周长都比较小。对于这种fixed degree distribution，只要最小的degree不是特别小，可能会拥有logarithmic diameter。只要最小的degree大于3就足够了。
令\(\textit{S}\)时节点子集，如果\(|\textit{S}|\leq n/4\),那么\(\textit{S}\)的并集以及他的邻居可能至少大小为\(2|\textit{S}|\)。也就是说，每个节点至少会有一个neighbor，these togetherprobably have 2 neighbors。
所以，\(只要满足2^k < n/2, 每个节点可能至少在他的距离k以内有2^k个节点\)
