解析几何

解析几何

竞赛的几何为二维的

解析几何

就是直线，圆，但我们不讨论，我们讨论向量

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以下讨论在直角坐标系中,我们对于向量用加粗黑体

我们以前的实数为R,有+,-,\(\times\), \(\div\), \(\sqrt{}\),\(\exp\),\(\ln,^{k}\)

那么向量为\(\R^2\)(用两个数字),例如\(\mathbf{a}\)等于\((x_a,y_a)\)

向量可以平移

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我们定义加法为:

\[\mathbf{a}+\mathbf{b} \\= (x_a+x_b,y_a+y_b) \]

我们要定义减法的话，必须定义$\mathbf{-b} $

那么我们定义\(\mathbf{-b} = (-x_b,-y_b)\)

套用加法即可

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在数论那一套理论中(还没写到)，狄利克雷卷积之所以流传，是因为他满足:

结合律，交换律，分配律，积性函数卷积还是积性

其中第四个我们不关心，所以存在一个把向量映射到向量的乘法,那么他良好的原因必须要满足以上三个律

我们说明没有这样或说没有几何性质的乘法。

二维欧式几何空间中，向量只有数乘，内积

数乘为\(\R\times \R^2=\R^2\)的一个乘法，\(a\mathbf{a} =(ax_a,ay_a)\)

内积为\(\R^2 \times \R^2=\R\)的一个乘法，\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =x_ax_b+y_1y_2\)

内积对加法有分配律。

那么我们可以定义二维欧式几何空间为\(E^2\cong (\R^2,+,·)\)

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我们给出:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a} ||\mathbf{b} |\cos \theta \]

其中\(|\mathbf{a} |=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}\)为\(\mathbf{a}\)的长度$ \theta \(为\)\mathbf{a,b} $夹角

原因是极化恒等式和余弦定理（三角形)

在必修二的课本上，这个是内积定义，而上面我们给出的定义是在平面向量基本定理后才给出的，真实的数学应该是和我们这个一样的定义。

我们上面这个叫做余弦定理

余弦定理推余弦定理

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我们根据余弦定理(非三角形)得

若$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=0 \(,则\)\mathbf{u} \perp\mathbf{v} $。

那我们可以用余弦定理(非三角形)推$\mathbf{u},\mathbf{v} $位置关系

空间向量

我们看三维，那么空间向量就是\(\R^3\),\(\mathbf{a} =(x_a,y_a,z_a)\)

对于空间向量，我们可以说明，以上运算依旧对向量满足。

定义$\mathbf{u}\times\mathbf{v} $为:



代数写法为

设\(\mathbf{u} =(x_1,y_1,z_1),\mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2)\)

\[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \\(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1) = \mathbf{w} \]

对加法有分配律，而且

\[\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}=0 \\\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}=0 \\|\mathbf{w} |= |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin \theta \\\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u} ) \]

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外积的作用是\(E^2<-E^3\)

因为对于二维向量\((x_1,y_1)\),我们变成\((x_1,y_1,0)\)

那么\((x_1,y_1,0)\times(x_2,y_2,0)=(0,0,x_1y_2-y_2x_1)\)

所以\(\sin \theta=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2} }\)

根据以前的余弦定理(非三角形)，得$\theta $。

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但在二维，外积就只是一个数了。

外积刻画了左右

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我们说明:对于内积，任意维度都有定义。

但外积除了三维和没有用的七维，其他维度没有定义

所以外积和三维绑定了。

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向量解析

用向量刻画直线。

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直线用一个点(\(\mathbf{p}\)) 和一个方向向量(\(\mathbf{u}\) )表示

\(l_1={k\mathbf{u}+\mathbf{p} }\)

$\mathbf{a} \(在\)l_1\(上:\)\mathbf{u} \times (\mathbf{a}-\mathbf{p} ) $

$\mathbf{a} \(在左侧:\)\mathbf{u} \times (\mathbf{a}- \mathbf{p} ) >0 $

$\mathbf{a} $在右侧同理

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如何两点做直线

取$\mathbf{p}=\mathbf{a} , \mathbf{u} = \mathbf{b} - \mathbf{a} $

求交点:

平行为:\(\mathbf{u_1} \times \mathbf{u_2} = 0\)

重合为\(p_1\)在\(l_2\)上，且\(l_1 \parallel l_2\)

可以设$\mathbf{a} = \mathbf{p_1}+k\mathbf{u} $

然后带入$\mathbf{a} \(在\)l_2$上，最后得:

\[k = -\frac{\mathbf{u_2} \times (\mathbf{p_1} - \mathbf{p_2} ) }{\mathbf{u_2} \times \mathbf{u_1} } \]

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为何我们拒绝解析，从而计算

因为计算机

因为我们把直线变成向量的运算，而向量的运算是快速的。

第二，解析几何是分辨不了左右侧，因为是人做，而计算几何，是计算机做的。

复数

如何旋转，用复数

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在实数上，\(x^2=-1\),无法分解

但我们令\(i=\sqrt{-1}\)

所以所有的二次方程都可有解了。

我们定义\(C={a+bi|a,b\in \R}\)

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如何把复数表示

注意到复数的表示\(a+bi\),则可以对应平面上的坐标(a,b)

而坐标对应向量。

我们把这个平面叫为复平面

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复数乘法不是以上提到的乘法，因为他有实数的交换律

设\(z_1\)与x轴的夹角为\(\theta_1\),\(|z_1|=r_1\)

则\(z_1=r(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\)

对于任意的\(z_1\)都成立

同理我们也可以对于\(z_2\)也这样写

那么\(z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))\)

如何向量旋转

通过以上的复数的乘法易得:

\(\mathbf{a} = (a,b) --rotate,\theta -- > (a\cos \theta-b\sin\theta,a\sin \theta+b\cos\theta)\)

圆

圆用向量如何表述

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$\mathbf{a} \(在圆上的充要条件为(圆心为p,半径为r)\)r=|\mathbf{a} - \mathbf{p}|$

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