逻辑回归原理（python代码实现）

Logistic Regression Classifier逻辑回归主要思想就是用最大似然概率方法构建出方程，为最大化方程，利用牛顿梯度上升求解方程参数。

  • 优点：计算代价不高，易于理解和实现。
  • 缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。
  • 使用数据类型：数值型和标称型数据。

介绍逻辑回归之前，我们先看一问题，有个黑箱，里面有白球和黑球，如何判断它们的比例。

我们从里面抓3个球，2个黑球，1个白球。这时候，有人就直接得出了黑球67%，白球占比33%。这个时候，其实这个人使用了最大似然概率的思想，通俗来讲，当黑球是67%的占比的时候，我们抓3个球，出现2黑1白的概率最大。我们直接用公式来说明。

假设黑球占比为P，白球为1-P。于是我们要求解MAX(P*P*(1-P))，显而易见P=67%（求解方法：对方程求导，使导数为0的P值即为最优解）

我们看逻辑回归，解决的是二分类问题，是不是和上面黑球白球问题很像，是的，逻辑回归也是最大似然概率来求解。

假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是： 
这里写图片描述 
上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）： 
这里写图片描述

这里我们稍微变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有xi的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：

这里写图片描述 
其中第三步到第四步使用了下面替换。 
这里写图片描述 
这时候为求最大值，对L(θ)对θ求导，得到： 
这里写图片描述 
然后我们令该导数为0，即可求出最优解。但是这个方程是无法解析求解（这里就不证明了）。 
最后问题变成了，求解参数使方程L最大化，求解参数的方法梯度上升法（原理这里不解释了，看详细的代码的计算方式应该更容易理解些）。 
根据这个转换公式 
这里写图片描述 
我们代入参数和特征，求P，也就是发生1的概率。 
这里写图片描述 
上面这个也就是常提及的sigmoid函数，俗称激活函数，最后用于分类（若P(y=1|x;ΘΘ )大于0.5，则判定为1）。

下面是详细的逻辑回归代码，代码比较简单，主要是要理解上面的算法思想。个人建议，可以结合代码看一步一步怎么算的，然后对比上面推导公式，可以让人更加容易理解，并加深印象。

 1 from numpy import *
 2 filename='...\\testSet.txt' #文件目录
 3 def loadDataSet():   #读取数据（这里只有两个特征）
 4     dataMat = []
 5     labelMat = []
 6     fr = open(filename)
 7     for line in fr.readlines():
 8         lineArr = line.strip().split()
 9         dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])   #前面的1，表示方程的常量。比如两个特征X1,X2，共需要三个参数，W1+W2*X1+W3*X2
10         labelMat.append(int(lineArr[2]))
11     return dataMat,labelMat
12 
13 def sigmoid(inX):  #sigmoid函数
14     return 1.0/(1+exp(-inX))
15 
16 def gradAscent(dataMat, labelMat): #梯度上升求最优参数
17     dataMatrix=mat(dataMat) #将读取的数据转换为矩阵
18     classLabels=mat(labelMat).transpose() #将读取的数据转换为矩阵
19     m,n = shape(dataMatrix)
20     alpha = 0.001  #设置梯度的阀值，该值越大梯度上升幅度越大
21     maxCycles = 500 #设置迭代的次数，一般看实际数据进行设定，有些可能200次就够了
22     weights = ones((n,1)) #设置初始的参数，并都赋默认值为1。注意这里权重以矩阵形式表示三个参数。
23     for k in range(maxCycles):
24         h = sigmoid(dataMatrix*weights)
25         error = (classLabels - h)     #求导后差值
26         weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #迭代更新权重
27     return weights
28 
29 def stocGradAscent0(dataMat, labelMat):  #随机梯度上升，当数据量比较大时，每次迭代都选择全量数据进行计算，计算量会非常大。所以采用每次迭代中一次只选择其中的一行数据进行更新权重。
30     dataMatrix=mat(dataMat)
31     classLabels=labelMat
32     m,n=shape(dataMatrix)
33     alpha=0.01
34     maxCycles = 500
35     weights=ones((n,1))
36     for k in range(maxCycles):
37         for i in range(m): #遍历计算每一行
38             h = sigmoid(sum(dataMatrix[i] * weights))
39             error = classLabels[i] - h
40             weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i].transpose()
41     return weights
42 
43 def stocGradAscent1(dataMat, labelMat): #改进版随机梯度上升，在每次迭代中随机选择样本来更新权重，并且随迭代次数增加，权重变化越小。
44     dataMatrix=mat(dataMat)
45     classLabels=labelMat
46     m,n=shape(dataMatrix)
47     weights=ones((n,1))
48     maxCycles=500
49     for j in range(maxCycles): #迭代
50         dataIndex=[i for i in range(m)]
51         for i in range(m): #随机遍历每一行
52             alpha=4/(1+j+i)+0.0001  #随迭代次数增加，权重变化越小。
53             randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))  #随机抽样
54             h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
55             error=classLabels[randIndex]-h
56             weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex].transpose()
57             del(dataIndex[randIndex]) #去除已经抽取的样本
58     return weights
59 
60 def plotBestFit(weights):  #画出最终分类的图
61     import matplotlib.pyplot as plt
62     dataMat,labelMat=loadDataSet()
63     dataArr = array(dataMat)
64     n = shape(dataArr)[0]
65     xcord1 = []; ycord1 = []
66     xcord2 = []; ycord2 = []
67     for i in range(n):
68         if int(labelMat[i])== 1:
69             xcord1.append(dataArr[i,1])
70             ycord1.append(dataArr[i,2])
71         else:
72             xcord2.append(dataArr[i,1])
73             ycord2.append(dataArr[i,2])
74     fig = plt.figure()
75     ax = fig.add_subplot(111)
76     ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
77     ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
78     x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
79     y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
80     ax.plot(x, y)
81     plt.xlabel('X1')
82     plt.ylabel('X2')
83     plt.show()
84 
85 def main():
86     dataMat, labelMat = loadDataSet()
87     weights=gradAscent(dataMat, labelMat).getA()
88     plotBestFit(weights)
89 
90 if __name__=='__main__':
91     main()

 

跑完代码结果： 
这里写图片描述 
当然，还可以换随机梯度上升和改进的随机梯度上升算法试试，效果都还不错。 
下面是代码使用的数据，可以直接复制本地text里面，跑上面代码。

  1 -0.017612   14.053064   0
  2 -1.395634   4.662541    1
  3 -0.752157   6.538620    0
  4 -1.322371   7.152853    0
  5 0.423363    11.054677   0
  6 0.406704    7.067335    1
  7 0.667394    12.741452   0
  8 -2.460150   6.866805    1
  9 0.569411    9.548755    0
 10 -0.026632   10.427743   0
 11 0.850433    6.920334    1
 12 1.347183    13.175500   0
 13 1.176813    3.167020    1
 14 -1.781871   9.097953    0
 15 -0.566606   5.749003    1
 16 0.931635    1.589505    1
 17 -0.024205   6.151823    1
 18 -0.036453   2.690988    1
 19 -0.196949   0.444165    1
 20 1.014459    5.754399    1
 21 1.985298    3.230619    1
 22 -1.693453   -0.557540   1
 23 -0.576525   11.778922   0
 24 -0.346811   -1.678730   1
 25 -2.124484   2.672471    1
 26 1.217916    9.597015    0
 27 -0.733928   9.098687    0
 28 -3.642001   -1.618087   1
 29 0.315985    3.523953    1
 30 1.416614    9.619232    0
 31 -0.386323   3.989286    1
 32 0.556921    8.294984    1
 33 1.224863    11.587360   0
 34 -1.347803   -2.406051   1
 35 1.196604    4.951851    1
 36 0.275221    9.543647    0
 37 0.470575    9.332488    0
 38 -1.889567   9.542662    0
 39 -1.527893   12.150579   0
 40 -1.185247   11.309318   0
 41 -0.445678   3.297303    1
 42 1.042222    6.105155    1
 43 -0.618787   10.320986   0
 44 1.152083    0.548467    1
 45 0.828534    2.676045    1
 46 -1.237728   10.549033   0
 47 -0.683565   -2.166125   1
 48 0.229456    5.921938    1
 49 -0.959885   11.555336   0
 50 0.492911    10.993324   0
 51 0.184992    8.721488    0
 52 -0.355715   10.325976   0
 53 -0.397822   8.058397    0
 54 0.824839    13.730343   0
 55 1.507278    5.027866    1
 56 0.099671    6.835839    1
 57 -0.344008   10.717485   0
 58 1.785928    7.718645    1
 59 -0.918801   11.560217   0
 60 -0.364009   4.747300    1
 61 -0.841722   4.119083    1
 62 0.490426    1.960539    1
 63 -0.007194   9.075792    0
 64 0.356107    12.447863   0
 65 0.342578    12.281162   0
 66 -0.810823   -1.466018   1
 67 2.530777    6.476801    1
 68 1.296683    11.607559   0
 69 0.475487    12.040035   0
 70 -0.783277   11.009725   0
 71 0.074798    11.023650   0
 72 -1.337472   0.468339    1
 73 -0.102781   13.763651   0
 74 -0.147324   2.874846    1
 75 0.518389    9.887035    0
 76 1.015399    7.571882    0
 77 -1.658086   -0.027255   1
 78 1.319944    2.171228    1
 79 2.056216    5.019981    1
 80 -0.851633   4.375691    1
 81 -1.510047   6.061992    0
 82 -1.076637   -3.181888   1
 83 1.821096    10.283990   0
 84 3.010150    8.401766    1
 85 -1.099458   1.688274    1
 86 -0.834872   -1.733869   1
 87 -0.846637   3.849075    1
 88 1.400102    12.628781   0
 89 1.752842    5.468166    1
 90 0.078557    0.059736    1
 91 0.089392    -0.715300   1
 92 1.825662    12.693808   0
 93 0.197445    9.744638    0
 94 0.126117    0.922311    1
 95 -0.679797   1.220530    1
 96 0.677983    2.556666    1
 97 0.761349    10.693862   0
 98 -2.168791   0.143632    1
 99 1.388610    9.341997    0
100 0.317029    14.739025   0

 

参考： 
- http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/20319673 
- Machine Learning in Action 
- 统计学习方法

 

转载：http://blog.csdn.net/csqazwsxedc/article/details/69690655

posted on 2018-03-19 21:48  NothingLZ  阅读(22882)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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