好题总结&trick杂谈

不难发现1花色的卡牌十分特殊似乎不好处理而其他花色相对平凡 f[i][j]表示考虑了i个花色的卡牌还剩j张1卡牌转移枚举在该花色上B比A多出来几张即A需要多少1来补剩下的牌必须平分给两人
$f_{i,j}=f{i-1,j+k} * g{m,(m-k)/2} $
其中g[i][j]表示前i张牌中选出来j张的方案数注意此处强制钦定j*2<=i 不然就不合法了所以不能直接套组合数

[AGC013D] Piling Up

思路超级妙的DP！天才转化！我天呐人类智慧啊！能想到第一步转化剩下就没什么难的了

我们考虑把转移扔进坐标系里 x表示操作次数 y表示白球数量 f[i][j]表示第i次操作白球数量为j

最终答案为折线形态数量（位似图形只算一种）如何不重不漏？考虑只统计接触过下边缘的折线所以在DP状态里再加一维0/1 稍微画一下具体的折线图就可以得到转移

Distance to Different

很牛的转化！

观察题目发现b的构成只与a中相同数字的连续段有关所以考虑f[i][j]表示到第i个数字划了j段注意长度为2的连续段在序列中间形成的b为[1,1] 其作用等价为2个长为1的连续段所以强制钦定长为2的连续段只在两端出现划分至少k段多于k段的方案数可以不做区分直接都算在k上就行

[AGC015E] Mr.Aoki Incubator

觉得转化都好厉害啊

首先不难观察到当一个点i被染色所有位置在他之前且速度大于他和位置在他之后且速度小于他的点都会被他直接染色考虑这些点还会间接染其他点观察一下两个极端是速度比他慢的里位置最大的和速度比他小的里位置最小的如果我们按照速度或者位置排序都不难发现是一段连续区间且左右端点均单调那么转化选为一些区间覆盖[1,n]整个大区间且区间具有很好的左右端点都单调的性质简单的前缀和+决策单调性优化DP

P1070 [NOIP 2009 普及组] 道路游戏

很不错的DP优化题，最开始一直没想起来怎么处理这个三方，看到单调队列优化的提示会的，主要问题在于写DP方程的时候那个算贡献的形式写的比较丑，于是就没注意到是一个斜着的滑动窗口，DP优化还是要多手玩画图感觉一下转移的过程

P1758 [NOI2009] 管道取珠

数据造的\n\r就比较难评了。转化很牛。

考虑我们直接计数每种序列的方案数是不容易的，因为显然不能去枚举序列的形态，那这个平方应该怎么处理就比较有意思了，这时候不妨注意一下为什么是平方而不是什么奇奇怪怪的系数，于是就可以比较自然的发现我们有两个人，分别独立进行游戏得到相同最终序列的操作方案数恰好就是这个平方项，于是剩下的就是简单DP了

P4728 [HNOI2009] 双递增序列

状态设计很有启发性，可能因为见过类似的东西倒是想出来了，f[i][j]=v表示到第i个数，包含a[i]的集合大小为j，另一个集合结尾元素的最小值。考虑到一定有一个集合包含a[i]的所以指记录另一个集合的结尾信息即可，然后这样的话因为有大小为n/2的限制是三维状态，但是注意到f指记录是否可行是很浪费的，这时候就不难想到把一个限制扔进去，有点像LIS那个尽量让结尾小的二分思路

数据结构

P1712 [NOI2016] 区间

蛮有意思的数据结构题呀数据结构+尺取选m个区间要求交不为空切区间长度极差尽可能小注意到答案的贡献只和区间长度有关我们考虑按长度排序然后双指针直到剩下的区间在交上不足m个拿线段树维护这个区间覆盖即可

Unique Array

不算难但赛时没切其实这题思维重点不在数据结构上来着但是我觉得也不是纯正贪心所以还是扔到数据结构里面吧

考虑我们替换一个元素那么所有跨越它的区间就一定都合法了问题变成左右两个独立区间是否合法进一步的相当于这些被替换的元素把序列分成若干段每一段内部都合法那么我们从头开始扫一遍每当一个前缀不合法就立刻把他替换掉然后开始新的一段线段树维护每个元素是否只出现过一次

SP1557 GSS2 - Can you answer these queries II

我为啥连这种DS都没做出来啊啊啊啊啊！

维护前缀的后缀或后缀的前缀就相当于维护了所有子段

于是考虑对r做一个扫描线对所有l维护当前后缀及历史最值

图论

[AGC013B] Hamiltonish Path

为啥我不会这种题啊啊啊啊啊啊绷不住了啊赛时做法假了哈哈

假设我们现在有一个路径{u,x1,x2,......,v} 如果端点不满足限制就直接向外扩展注意到在扩展到n个点时就一定合法双端队列维护即可

[AGC017E] Jigsaw

考考你的图论建模能力！其实见过的俄罗斯方块题不少一般要么轮廓线相关要么图论相关吧不过我很少切出来就是了

首先考虑给可以拼在一起的点之间连边但是显然炸完了考虑能不能自定义一个权值使得可以拼在一起的点有相同的表示我们钦定：
如果c>0 u=c+h 否则 u=a
如果d>0 v=d 否则v=b+h

一个拼图相当于一条连边现在我们想找到若干从<h的点到>h的点的路径使其覆盖所有边那么需要满足的条件与欧拉回路类似但由于我们可以有很多条路径条件更为宽松 <h的点入度不大于出度反之出度不大于入度且每个连通块至少有一个点出度入度不等

数学

P2312 [NOIP2014 提高组] 解方程

秦九韶板子感觉这个知识点很容易复习不到所以在这挂一下

不断提取$x$ 可以做到对于一个n次多项式用n次乘法n次加法求解

树上问题

期中#1T3

场切了，第一次见这个trick应该是在ZR，但懒得去找原题了

动态维护树的直径，每次新加入一个点，新直径两端点与原直径两端点至少有一个点相同

杂项

P1419 寻找段落

序列最大子段均值限定长度

考虑二分一个均值做差转化题意为限制长度的最大子段和单调队列维护即可

很好也很经典的trick题！先考虑如果是序列上怎么办发现由于相撞后反向运动蚂蚁之间的相对位置是不变的也就是说我们可以不管具体是哪个蚂蚁在哪个位置只需要知道这些位置自然可以还原每个蚂蚁的具体位置一个想法是我们把相撞后掉头看成穿过彼此并互换编号由于上述性质实际上不需要维护编号那么就是朴素直线运动了那么继续扩展到序列上位置从同构变成了循环同构我们考虑如何维护这个循环发现一只蚂蚁顺时针穿过原点一次相当于从队尾走到了对头即所有位置在模n意义下+1 逆时针同理-1 那么只需要维护这个修正项即可