D - 石子合并问题

Description

在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
对于给定n堆石子,计算合并成一堆的最小得分和最大得分。

Input

输入数据的第1行是正整数n，1≤n≤100，表示有n堆石子。第二行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

Output

输出数据有两行，第1行中的数是最小得分，第2行中的数是最大得分。

Sample

Input

4
4 4 5 9

Output

43
54

题解：这道题属于石子合并的环形石子合并，既把所有的石子围城一个圈进行合并。

由于首位相连有点麻烦，所以我们可以把它当成一个2*n长度的相邻石子合并。
而相邻石子合并可以看成矩阵连乘的题目。
以最大值为例。
则此时可以得到方程 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]);
其中k代表将这些石子从第K个成两份。sum[i][j]代表从i到j的石子数量和，sum[i][j] = sum[j] - sum[i-1]。

（这里挖个坑，后面会补一篇关于石子合并的博客。）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
/**
*maxn数组的最大数量。
*INF 无穷大的值。
*/
int maxn = 205;
int INF = 0x3f3f3f;

int main()
{
    /**
    *dp_min存储最小值的最优解。
    *dp_max存储最大值的最优解。
    *sum存储从第一个石子到当前石子的所有石子和。
    */
    int dp_min[maxn][maxn],dp_max[maxn][maxn],sum[maxn];
    /**
    *MAX最大值
    *MIN最小值
    */
    int i,j,k,len,s,MAX,MIN;
    /**
    *a存储输入的每堆石子的数量。
    */
    int n,a[maxn];
    scanf("%d",&n);
    sum[0] = 0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i] = sum[i-1] + a[i];
    }
    for(i=n+1;i<=2*n;i++)
        sum[i] = sum[i-1] + a[i-n];
    for(i=1;i<=2*n;i++){
        for(j=1;j<=2*n;j++){
            dp_min[i][j] = i==j ? 0 : INF;
            dp_max[i][j] = 0;
        }
    }
    /**
    *len每一次计算的长度。
    *i为开始石子堆
    *j为结束的石子堆
    *k为中间的石子堆。
    */
    for(len=2;len<=n;len++){
        for(i=1;i<=2*n;i++){
            j = i + len - 1;
            if(j>n*2)
                break;
            for(k=i;k<j;k++){
                s = sum[j] - sum[i - 1];
                dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j],dp_min[i][k]
                                   + dp_min[k+1][j] + s);
                dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j],dp_max[i][k]
                                   + dp_max[k+1][j] + s);
            }
        }
    }
//    for(i=1;i<=n*2;i++){
//        for(j=1;j<=n*2;j++){
//            printf("%d ",dp_min[i][j]);
//        }
//        printf("\n");
//    }
    MIN = INF;
    MAX = 0;
    /**
    *遍历寻找最大值和最小值。
    */
    for(i=1;i<=n;i++){
        //printf("%d\n",dp_min[i][j]);
        MAX = max(MAX,dp_max[i][i + n - 1]);
        MIN = min(MIN,dp_min[i][i + n - 1]);
    }
    printf("%d\n%d\n",MIN,MAX);
    return 0;
}