快速幂
快速幂
一般的求幂方法
初学编程时，学校一般都会出求x的n次幂的题目。而在做基础题的时候，也经常会用到math.h中的pow函数来求x的n次幂。但是，这些方法不一定能满足我们开发中所需效率。
//迭代法
int pow(int x, int n){
int ans = 1;
while(n--)
ans *= x;
return ans;
}
//递归法
int pow(int x, int n){
//base case
if(!n) return x;
return x*pow(x, n-1);
}
这种方法是初学时常用的解法，日常使用也是足够的，时间复杂度为O(N)，而递归法则要用到O(N)的空间复杂度。
但有时，我们的底数和指数中有小数或指数有负数时，这种方法往往还需要再写多几行判断和扩展。那么我们就会用pow来求，往往就会用到精度更高的double类型变量，内部的实现远比上述复杂，所以仅仅在整数间运算，我们没必要用pow函数。
快速幂算法
整数间的求幂可以用快速幂算法来把时间复杂度降到O(logN)，快速幂算法不仅常见，后续很多算法也会用到。
接下来我们讨论这个算法的原理。
这是一个二分的分治思路，我们可以不断地把偶数情况一直拆解成相似的小问题，那么递归方程也显而易见了
//递归方法实现
//time complexity:O(logN)
//space comlexity:O(logN)
int quickPow(int x, int n){
if(!n) return 1;
else if(n & 1) return quickPow(a, n-1)*a; //此处位运算为判断奇数
else{
int temp = quickPow(a, n/2);
//这里必须用一个变量储存递归结果，如果在return里面调用两次递归，就不是分治了，时间复杂度还是线性阶
return temp*temp;
}
}
实际问题中，如果计算结果特别大，我们会对一个大素数进行取模，这时快速幂算法也需要取模，而且是步步取模。我们的素数较大，可能需要用到long long型变量来运算。
#define MOD 1000000007
long long quickPow(long long x, long long n){
if(!n) return 1;
else if(n & 1) return quickPow(x, n-1) % MOD;
else{
long long temp = quickPow(a, n/2) % MOD;
return temp*temp;
}
}
递归的代码简洁，又能非常贴切的描述上面推导的递归方程，效率也能比一般求幂方法高，但是众所周知递归是会占用额外的程序栈空间的，所以如果我们能把这个过程换成迭代来实现，效果会更好。
快速幂的迭代方法
迭代方法中，我们就需要换一个角度去思考这种分治的思想。其实在上面的代码中，我们用了一个temp变量来储存了当前层递归的结果来达到分治，那么在迭代中，如果也能不停地调用前面的计算结果，减少运算次数，也就提高了效率。
我们知道，数值数据在计算机中以二进制储存，我们可以在推导中把指数看作二进制形式，我们以x的7次方为例
可以看出，我们只需要不断地把当前底数乘方，再让幂除二就可以实现快速幂算法了。当然，奇数情况下要先乘一个x。
int quickPow(int x, int n){
int ans = 1;
while(n){
if(n & 1)
ans *= x;
x *= x;
n >= 1; //右移一位，相当于除2
}
return ans;
}
虽然上述实现为整数，但其实只要x的数据类型支持乘法且满足结合律，快速幂的算法都是有效的。矩阵，高精度整数都可以照搬这个思路。
拓展：为什么要对大素数“1000000007”取模
有时候，我们的算法得出结果会超过32位整型的范围，题目为了精度或是防止整数溢出，就需要对一个大数字进行取模。
那么为什么是1000000007呢？
因为这个数字是10位的最小质数，跟质数取模能最大程度避免冲突。
而对于int32位的最值，1000000007这个数字足够大，它的平方在int64的范围中也不会溢出。
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