【HNOI 2018】寻宝游戏
Problem
Description
某大学每年都会有一次 \(Mystery\ Hunt\) 的活动，玩家需要根据设置的线索解谜，找到宝藏的位置，前一年获胜的队伍可以获得这一年出题的机会。
作为新生的你，对这个活动非常感兴趣。你每天都要从西向东经过教学楼一条很长的走廊，这条走廊是如此的长，以至于它被人戏称为 \(Infinite\ Corridor\) 。一次，你经过这条走廊的时候，注意到在走廊的墙壁上隐藏着 \(n\) 个等长的二进制的数字，长度均为 \(m\) 。你从西向东将这些数字记录了下来，形成一个含有 \(n\) 个数的二进制数组 \(a_1, a_2 \cdots, a_n\) 。
很快，在最新的一期 \(Voo\ Doo\) 杂志上，你发现了 \(q\) 个长度也为 \(m\) 的二进制串 \(r_1, r_2, \cdots, r_q\) 。
聪明的你很快发现了这些数字的含义。
保持数组 \(a_1, a_2 \cdots, a_n\) 的元素顺序不变，你可以在它们之间插入 \(\land\)（按位与运算）或者 \(\vee\)（按位或运算）两种二进制运算符。例如： \(11011 \land 00111 = 00011，11011 \vee 00111 = 11111\) 。
你需要插入恰好 \(n\) 个运算符，相邻两个数之间恰好一个，在第一个数的左边还有一个。如果我们在第一个运算符的左边补入一个 \(0\) ，这就形成了一个运算式，我们可以计算它的值。与往常一样，运算顺序是从左往右。有趣的是，出题人已经告诉你这个值的可能的集合—— \(Voo Doo\) 杂志里的那一些二进制数 \(r_1, r_2, \cdots, r_q\) ，而解谜的方法，就是对 \(r_1, r_2, \cdots, r_q\) 中的每一个值 \(r_i\) ，分别计算出有多少种方法填入这 \(\mathbf{n}\) 个运算符，使得这个运算式的值是 \(r_i\) 。
然而，\(Infinite\ Corridor\) 真的很长，这意味着数据范围可能非常大。因此，答案也可能非常大，但是你发现由于谜题的特殊性，你只需要求答案模\(1000000007(10 ^ 9 + 7\) , 一个质数)的值。
Input Format
第一行三个数\(n,m,q\)，含义如题所述。
接下来\(n\)行，其中第\(i\)行有一个长度为\(m\)的二进制串，左边是最高位，表示\(a_i\)。
接下来\(q\)行，其中第\(i\)行有一个长度为\(m\)的二进制串，左边是最高位，表示\(r_i\)。
Output Format
输出\(q\)行，每行一个数，其中第\(i\)行表示对应于\(r_i\)的答案。
Sample
Input 1
5 5 1
01110
11011
10000
01010
00100
00100
Output 1
6
Input 2
10 10 3
0100011011
0110100101
1100010100
0111000110
1100011110
0001110100
0001101110
0110100001
1110001010
0010011101
0110011111
1101001010
0010001001
Output2
69
0
5
Explanation
Explanation for Input 1
有以下且仅有以下六个运算式的值是\(00100_{2}\)：(下标2表示被标识的数是二进制数)
\(0 \land \ 01110_{2} \land \ 11011_{2} \vee {\ 10000}_{2}{\ \land 01010}_{2}{\ \vee 00100}_{2}\)
\(0 \vee \ 01110_{2}\ {\vee 11011}_{2}\ \land {\ 10000}_{2}{\ \ \land 01010}_{2}{\ \vee 00100}_{2}\)
\(0 \land \ 01110_{2}\ {\vee 11011}_{2} \land {\ 10000}_{2}{\ \land 01010}_{2}{\ \vee 00100}_{2}\)
\(0 \vee \ 01110_{2} \land \ 11011_{2} \land {\ 10000}_{2}{\land \ 01010}_{2}{\ \vee 00100}_{2}\)
\(0 \land \ 01110_{2}\ {\land 11011}_{2} \land {\ 10000}_{2}{\ \land 01010}_{2}{\ \vee 00100}_{2}\)
\(0 \vee \ 01110_{2}\ \vee 11011_{2} \vee {\ 10000}_{2}{\ \ \vee 01010}_{2}{\ \land 00100}_{2}\)
Range
对于 \(10\%\) 的数据，\(n \leq 20, m \leq 30, \ q = 1\)
对于另外 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 1000, m \leq 16\)
对于另外 \(40\%\) 的数据，\(n \leq 500, m \leq 1000\)
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 1000, \ 1 \leq m \leq 5000, \ 1 \leq q \leq 1000\)
Algorithm
基数排序可能算一个？？？
Mentality
这个题看起来超级吓人 \(......\) 难度看起来确实挺大的样子。
但是我们应该冷静思考，先看看数据范围，\(10^3\) 左右，这大概就只有 \(O(nm)\) 的复杂度才能过了，最多带点小常数，连 \(log\) 都带不起。
辣么怎么办呢？冷静分析的话，我们决定单独来按位思考，想想每个二进制数的某一位经过运算的结果。
首先，我们发现每一位的运算符只有四种情况：
\(\&0,\&1,|0,|1\)
而我们需要学会发现这四种情况里没啥用的情况，那就是 \(\&1\) 和 \(|0\) 这两个运算，它们对于运算结果没有任何影响。那么有影响的就只剩下了两种情况：当前位为 \(1\) 的时候，我们插入 \(|\) 符号将会使得结果必定为 \(1\) ，否则结果不变；当前位为 \(0\) 的时候，我们插入 \(\&\) 符号会使得结果必定为 \(0\) 。否则结果不变。
那么我们需要做的就变得很简单了：如果询问中这一位为 \(1\) ，那么我们必需确保最后一个有效的操作 (\(\&0\) 和 \(|1\)) 为 \(|1\) ，如果这一位为 \(0\) ,则必须确保最后一个有效操作为 \(\&0\) 或者没有有效操作 (初始值为 \(0\)) 。
接着就是一个异常巧妙的转化了：
由于我们发现 \(\&1\) 和 \(|0\) 这两个东西对结果没有任何影响，那么我们开开脑洞：我们认为 \(\&\) 和 \(1\) 是等价的，\(|\) 和 \(0\) 是等价的！
然后脑洞不要停，我们将当前位每个数前插入运算符构成一个 \(01\) 串来看，设这个串为 \(opt\) ，其中的 \(\&\) 运算代表的值就直接设为 \(1\) ，\(|\) 运算代表的值直接设为 \(0\) 。那么我们发现，将 \(opt\) 与当前位的数构成的 \(01\) 串对其后，如果数为 \(1\) ，而 \(opt\) 的相同位置为 \(1\) 的话，这一位上的二进制值就是相等的，这符合我们等价的脑洞。
接着，我们会异常惊喜地发现一件事情，根据之前的说法，如果我们要使运算的结果为 \(1\) ，那么最后一个有效的操作必须为 \(|1\) ，则对于最后一个有效操作的位置往后，都必须是等价操作 (也即无效操作) 。
而最后一个要求结果为 \(1\) 的有效操作位置，我们必须填入 \(|\) ，也就是在 \(opt\) 串的相同位置，我们的值为 \(0\) ，而我们此位置往后的位置又全部相等！
想到了什么吗？对！如果我们将 \(n\) 个数的当前位提出来，从后往前构成一个二进制数的话，我们必须大于当前 \(opt\) 串代表的二进制数！
举个例子：
这是 \(n\) 个数的当前位：\(1010111\)
若要使结果为 \(0\) ,假设我们最后一个有效操作在第 \(5\) 位，那么最后两位的运算操作都必须为 \(\&\) 运算，也就是 \(1\) ，那么我们的操作串如下，\(.\) 代表既可以填 \(1\) 有可以填 \(0\) 。
\(opt:\ ....011\)当前位倒过来之后为：\(1110101\)
操作串倒过来之后为：\(opt:\ 110....\)
\(opt<\) \(n\) 个数当前位构成的串
总结陈词，我们设 \(b_i\) 为 \(n\) 个数的第 \(i\) 位提出来再倒过来组成的二进制数，那么若 \(r_i\) 的第 \(j\) 位为 \(1\) ，我们必须保证我们的操作串 \(opt< b_j\) ，而我们已经证明过了，这是必然要求，那么换而言之，如果 \(opt\ge b_j\) ，这一位的结果就必定为 \(0\) 。
于是我们的题目变成了好玩的比大小游戏，我们只需要根据 \(m\) 个和 \(opt\) 有关的不等式得出结果就好了 \(hhhg\) 。
那这题的做法出来了！
先预处理出 \(b\) 数组并排序。
对于当前询问，我们找到满足 \(r_i=0\) 的最大 \(b_i\) ，设当前 \(i\) 为 \(L\) ，满足 \(r_i=1\) 的最小 \(b_i\) ，设当前 \(i\) 为 \(R\) ，那么最后的答案肯定就是 \(b_R-b_L\) 啊 \(hhhhh\) 。
当然注意当 \(L>R\) 输出 \(0\) 。
您问我怎么排序？当然是基数排序啊！常数只有 \(2\) 的 \(O(nm)\) 排序算法。
但是如果您不知道基数排序我就没办法了 \(QwQ\) ，学一下吧，挺简单的。
Code
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, Q, tag[2], ra[5002], rb[5002], num[5001], mi[1002], t[5002];
char s[5002], q[5002];
void Mod(int &x) { x = (x % mod + mod) % mod; }
int main() {
cin >> n >> m >> Q;
mi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
mi[i] = (mi[i - 1] << 1) % mod; //预处理一下幂
for (int i = 1; i <= m; i++) ra[i] = i; //排名
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%s", s + 1);
tag[0] = 0, tag[1] = m; //基排的桶
for (int j = 1; j <= m; j++) {
Mod(num[j] += s[j] == '1' ? mi[i] : 0); //处理 b 数组的值
if (s[j] == '0') tag[0]++;
}
for (int j = m; j >= 1; j--)
rb[tag[s[ra[j]] - '0']--] = ra[j]; //获取下一轮排名
swap(ra, rb); //更新排名
}
ra[m + 1] = m + 1;
num[m + 1] =
mi[n +
1]; //因为如果要求的结果中没有 1 ，那么操作串大小上限就是 2^n-1 了。
while (Q--) {
scanf("%s", q + 1);
int l = 0, r = m + 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
if (q[ra[i]] == '1') {
r = i;
break;
} //找到最小的
for (int i = m; i >= 1; i--)
if (q[ra[i]] == '0') {
l = i;
break;
} //找到最大的
if (l > r)
cout << "0\n";
else
printf("%d\n", ((num[ra[r]] - num[ra[l]]) % mod + mod) % mod);
}
}
