Luogu P3397 地毯

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一道二维差分的板子题。

因为二维差分比起一维的来说并不那么直观，所以这里主要讲一下二维差分的实现思路。

首先，记二维前缀和为 $S_ {a_ {x,y}} = \sum ^{x}_ {i=1} \sum ^{y}_ {j=1} a_ {i,j} $；二维差分为 $D_{x,y}$。

显然，$S_{a_{x,y}}$ 满足如下递推式：

$S_{a_{x,y}}=S_{a_{x,y-1}}+S_{a_{x-1,y}}-S_{a_{x-1,y-1}}+a_{x,y}$

这里，我们要用到一个性质：差分的前缀和为原数，即 $S_{D_{x,y}}=a_{x,y}$。

则代入二维前缀和的递推式，可以得到二维差分满足的关系式：

$a_{x,y}=a_{x,y-1}+a_{x-1,y}-a_{x-1,y-1}+D_{x,y}$

变形一下得到二维差分的计算式：

$D_{x,y}=a_{x,y}-a_{x,y-1}-a_{x-1,y}+a_{x-1,y-1}$

最后我们再来考虑如何实现题目中，修改一个左上角是 $(x_1,y_1)$，右下角是 $(x_2,y_2)$ 的矩形区间。

类比前缀和的计算，不难得到：

• $D_{x_1,y_1} \gets D_{x_1,y_1}+1$
• $D_{x_1,y_2+1} \gets D_{x_1,y_2+1}-1$
• $D_{x_2+1,y_1} \gets D_{x_2+1,y_1}-1$
• $D_{x_2+1,y_2+1} \gets D_{x_2+1,y_2+1}+1$

即可。

代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010

int n,m;
int map[N][N],d[N][N];

struct node {
	int x1,y1,x2,y2;
};

node a[N];

namespace WalkerV {
	void Read() {
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d%d%d",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2);
		}
		return;
	}

	void Solve() {
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			d[a[i].x1][a[i].y1]++;
			d[a[i].x2+1][a[i].y1]--;
			d[a[i].x1][a[i].y2+1]--;
			d[a[i].x2+1][a[i].y2+1]++;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				map[i][j]=map[i][j-1]+map[i-1][j]-map[i-1][j-1]+d[i][j];
			}
		}
		return;
	}

	void Print() {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				printf("%d%c",map[i][j],j==n?'\n':' ');
			}
		}
		return;
	}
}

int main()
{
	WalkerV::Read();
	WalkerV::Solve();
	WalkerV::Print();
	return 0;
}