椭圆三个定义(待更新)

• 椭圆的第一定义

平面内与两定点\(F_{1} 、 F_{2}\)的距离的和等于常数\(2a\ (2a>F_{1}F_{2})\)

即\(\left| PF_{1}\right|+\left| PF_{2}\right|=2a\)的动点\(P\)的轨迹叫做椭圆。

椭圆标准方程

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)

• 椭圆的第二定义

平面内到定点 \(F(c，0)\)的距离和到定直线 \(\displaystyle l:x=\frac{a^{2}}{c}\)（ 点\(F\)不在\(l\)上）的距离之比为常数\(\displaystyle \frac{c}{a}\)（即离心率\(e\)，\(0<e<1\)）的点的轨迹是椭圆。(即点\(P\)轨迹)
其中定点\(F\)为椭圆的焦点，定直线\(l\)称为椭圆的准线〈该定直线的方程是\(\displaystyle x=\pm \frac{a^{2}}{c}\)（焦点在\(x\)轴上），或\(\displaystyle y=\pm \frac{a^{2}}{c}\)（焦点在\(y\)轴上）〉。

如图：

推导过程：

已知：

\(\displaystyle P(x,y)\)

\(\displaystyle |PF|=\sqrt{(x-c)^{2} +y^{2}}\)

\(\displaystyle |PQ|=\frac{a^{2}}{c} -x,\)

\(\displaystyle \frac{|PF|}{|PQ|} =\frac{\sqrt{(x-c)^{2} +y^{2}}}{\frac{a^{2}}{c} -x} =e=\frac{c}{a} ,\)

注：\(\displaystyle \frac{c}{a} =e\) 是一个常数，即离心率

两边同时平方，整理得：

\(\displaystyle (1-\frac{c^{2}}{a^{2}} )x^{2} +y^{2} =a^{2} -c^{2}\)A

目前已知：\(\displaystyle a^{2} =b^{2} +c^{2} ,\)

故\(\displaystyle 1-\frac{c^{2}}{a^{2}}\)可看成\(\displaystyle \frac{a^{2} -c^{2}}{a^{2}}\)即\(\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}} ,\)

所以A式可以化简为\(\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2} +y^{2} =b^{2} ,\)

即\(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1,\)

得证.