算法01
认识时间复杂度：
- 常数时间的操作：一个操作如果和数据量没有关系，每次都是 固定时间内完成的操作，叫做常数操作。
- 时间复杂度为一个算法流程中，常数操作数量的指标。常用O （读作big O）来表示。具体来说，在常数操作数量的表达式中， 只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分 如果记为f(N)，那么时间复杂度为O(f(N))。
- 评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分 析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项时间。
对数器的概念和使用：
- 有一个你想要测的方法a
- 实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b
- 实现一个随机样本产生器
- 实现比对的方法
- 把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确
- 如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错
- 当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经 正确
冒泡排序细节的讲解与复杂度分析，时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)
void Bubble_sort(int *t,int len) { for(int i=len-1;i>0;i--) { for(int j=0;j<i;j++) { if(t[j]<t[j+1]) swap(t[j],t[j+1]); } } }
选择排序的细节讲解与复杂度分析，时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)
void Selection_sorting(int *t,int len) { for(int i=0;i<len-1;i++) { int item=i; for(int j=i+1;j<len;j++) { item=t[item]<t[j]?item:j; } swap(t[i],t[item]); } }
插入排序的细节讲解与复杂度分析时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)
void Insertion_sort(int *t,int len) { for(int i=1;i<len;i++) { for(int j=i;j>0;j--) { if(t[j]<t[j-1]) { swap(t[j],t[j-1]); } } } }
冒泡排序和选择排序，这两种排序不管你的数据状况是什么样的，时间复杂度都是O(n*n)，但是插入排序的时间复杂度和数据本身的状况有关，但是我们在定义一个算法的时间复杂度往往是用最坏的情况去考虑，所以插入排序的时间复杂度也是O(n*n)，但是我们要知道他和选择冒泡排序是有区别的。
下面我用一个小的例子来介绍一下递归算法的时间复杂度分析：
例子：求一个数组的最大值 1 int get_max(int *t,int left,int right)
1 int get_max(int *t,int left,int right) 2 { 3 if(left==right) 4 { 5 return t[left]; 6 } 7 int mid = left+((right-left)>>1);//这个地方下面有讲解 8 //这个地方最简单可以写为 mid = (left + right)/2;但是这样可能有风险，可能会溢出 9 //改进后 mid = left+(right-left)/2;这样就能防止溢出 10 //然后(right -left)/2 改为((right-left)>>1) 位运算的操作更快 11 int max1 = get_max(t,left,mid); 12 int max2 = get_max(t,mid+1,right); 13 if(max1>max2) return max1; 14 return max2; 15 }
这里这个递归算法的时间复杂度可以写成 T(N) = aT(N/b) + O(n^d)，的形式，N代表数据的规模,a代表执行次数（在这个算法里面就是第11行和第12行代码），b的意思就是递归行为将原来的数据分成了多少份（在这里是两份），n^d代表的就是除了递归行为其他其他行代码的时间复杂度（在这里由于其他项代码的时间复杂度是一个常数项，所以d=0）
只要满足T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)的形式，就可以使用master公式求解这个式子的时间复杂度。
- log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))
- log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)
- log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d)
但是一定得是T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)，才可以使用master公式来求解递归算法的时间复杂度
归并排序的细节讲解与复杂度分析时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)
1 void Merging_sort1(int *t,int len) 2 { 3 if(NULL==t||len<2) 4 { 5 return; 6 } 7 Merging_sort2(t,0,len-1); 8 } 9 10 void Merging_sort2(int *t,int left,int right) 11 { 12 if(left==right) 13 { 14 return; 15 } 16 int mid = left + ((right - left)>>1); 17 Merging_sort2(t,0,mid); 18 Merging_sort2(t,mid+1,right); 19 Merge(t,left,right); 20 } 21 22 void Merge(int *data,int left,int right) 23 { 24 int mid = left + ((right - left)>>1); 25 int *help = new int[right-left+1]; 26 int p1=left; 27 int p2=mid+1; 28 int index=0; 29 while(p1<=mid&&p2<=right) 30 { 31 help[index++]=data[p1]>data[p2]?data[p1++]:data[p2++]; 32 } 33 while(p1<=mid) 34 { 35 help[index++]=data[p1++]; 36 } 37 while(p2<=right) 38 { 39 help[index++]=data[p2++]; 40 } 41 42 for(int i=0; i<index; i++) 43 { 44 data[i+left]=help[i]; 45 } 46 delete [] help; 47 }
看完了归并排序的整个过程，我们就可以使用master公式来对归并排序的时间复杂度进行计算；
归并排序之所以能够做到时间复杂度为 N*(logN) 是因为他在外排的过程中没有多余的比较，只是组与组之间的比较，组内已经有序，所以不像冒泡选择排序那样有很多没有用的比较；
好了学习完归并排序之后我们就可以来做几道题目
题目1：小和问题
在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。
求一个数组 的小和。
- 比如[1,3,4,2,5]
- 1左边比1小的数，没有；
- 3左边比3小的数，1；
- 4左边比4小的数，1、3；
- 2左边比2小的数，1；
- 5左边比5小的数，1、3、4、2；
- 所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=1。
这道题目就可以使用归并排序：
int Merging_sort1(int *t,int len) { if(NULL==t||len<2) { return 0; } return Merging_sort2(t,0,len-1); } int Merging_sort2(int *t,int left,int right) { if(left==right) { return 0; } int mid = left + ((right - left)>>1); return Merging_sort2(t, left, mid) + Merging_sort2(t, mid + 1, right) + Merge(t, left, right); } int Merge(int *data,int left,int right) { int mid = left + ((right - left)>>1); int *help = new int[right-left+1]; int p1=left; int p2=mid+1; int index=0; int res=0; while(p1<=mid&&p2<=right) { res += data[p1] < data[p2] ? (right - p2 + 1) * data[p1] : 0; help[index++]=data[p1]<data[p2]?data[p1++]:data[p2++]; } while(p1<=mid) { help[index++]=data[p1++]; } while(p2<=right) { help[index++]=data[p2++]; } for(int i=0; i<index; i++) { data[i+left]=help[i]; } delete [] help; return res; }
将归并排序的代码稍微改动一下就能很好的解决这个问题
