算法第二章实践作业

找第 k 小数的分治算法通常称为快速选择，本质是快速排序划分思想的“减治”版本。

核心步骤：
在数组 A[l..r] 中选一个枢轴 pivot；
进行划分，使左边元素 ≤ pivot，右边元素 ≥ pivot；
设枢轴最终位置为 p，左半部分加枢轴共有 leftSize = p - l + 1 个元素；
若 k == leftSize，返回 A[p]；
若 k < leftSize，只递归左半部分找第 k 小；
若 k > leftSize，只递归右半部分找第 k - leftSize 小。

时间复杂度：
最好情况：每次划分后问题规模迅速缩小，或直接命中，时间复杂度为 O(n)；
最坏情况：每次枢轴都是最大或最小元素，只排除一个元素，时间复杂度为 O(n²)；
平均/期望情况：随机选择枢轴时，期望时间复杂度为 O(n)；
若用 BFPRT 等中位数选择算法，可保证最坏也为 O(n)。

分治法体会和思考：
分治法通常包括“分解—解决—合并”，但第 k 小问题每次只递归处理一个子问题，属于“减治”；
划分是关键，枢轴选择直接影响效率；
子问题越平衡，算法越快；划分极端会退化为 O(n²)；
随机化可有效避免最坏情况，使期望时间达到 O(n)；
分治思想的核心是：通过划分缩小问题规模，舍弃无关部分，只在可能包含答案的子问题中继续求解。