数学小知识点

超平面

    超平面定义为：，对向量W归一化得：，其中，，归一化处理可简化后续一些计算。

    超平面单位法向量为w，证明如下：

    设  为超平面上得点，则有：，

    ，向量w与超平面上任意方向线段垂直，则w为超平面单位法向量。

    原点到超平面距离为b，证明如下：

    过原点O作到超平面距离垂线，设OM=-kw，代入超平面得：，

    则原点O到超超平面距离为 。

    任意点N到超平面距离为 ，证明如下：

    点N在OM上投影向量为：，任意点N到超平面作垂线向量为：，则距离为：。

           

 

矩阵微分

1）y=Ax, y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖x，则有  ，证明如下：

     ， 。

2）y=Ax, y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖x，x=f(z)，根据链式法则有 。

3），y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖xy，则有 ，证明如下：

    令 ，通过变换得： 。

    令 ，则有：。

4），x为n*1向量，A为n*n矩阵，A不依赖x，则有 ，证明如下：

    ， ，

    ，结论得证。

5），x为n*1向量，A为n*n对称矩阵矩阵，A不依赖x，由于 ，则有 。

6），y为n*1向量，x为n*1向量，x与y均依赖于z，根据链式法则有 ，若x=y，则有 。

7），y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖xy，x与y均依赖于z，根据链式法则有 。

8），x为n*1向量，A为n*n矩阵，A不依赖x，x依赖于z，根据链式法则有 。

9）A为n*n矩阵，A的各项为变量  函数，定义 ，则有 ，证明如下：

    由于 ，左右微分得：，。

 

曲率

    曲率定义为单位弧段上切线旋转过的角度，。针对直线情况，K=0表示直线无弯曲；针对圆形， 表示圆形弯曲程度与半径呈反比。

         

    在直角坐标系下，设曲线方程为 ，且函数具有二阶导数，欲求曲线上某一固定点（x, f(x)) 的曲率，有如下推导：

    根据导数定义可知 ，使用反函数重写得 ，两边对 x 求导得  ，

    代入 得 ，到此，建立起了 与  关系，根据弧微分公式可建立  与  关系，如下：

    极限情况下，，而 ，则有 。

    根据以上关系，可建立  与  关系：。

    当曲线表示为参数方程  时，可以首先求出 y 对 x 的一阶与二阶导数，代入之前曲率公式即可。

    使用反函数关系，可求得一阶导数为  ，由于一阶导数是关于 t 的函数，则二阶导数定义为 ，

    根据基本求导法则得 。

 

向量范数与矩阵范数

    在实数空间R中，可以很方便比较两个数的大小关系。而针对两个n维向量  ，，如果需要比较大小关系，需要定义一个准则，如到原点距离（即欧氏距离）。而范数即为不同的准则，如  等，其公式为：。

    当k=2时，即为常见的欧式距离；当k=1时，为向量中各元素绝对值之和；当k=0时，表示向量中非零元素个数；当  时，表示向量中绝对值最大元素绝对值。

   针对  时，可以使用极限求解，有 。

   将矩阵作用于向量（矩阵左乘向量），表示矩阵对向量进行线性变换。如果矩阵为单位矩阵，则变换后向量于变换前保持一致。如果矩阵非单位向量，变换后向量与变换前则存在差异，不同矩阵对向量的变换的差异不一致，这里使用矩阵范数表示这种变换的最大差异。显然，要度量变换前后向量差异，需要选择合适的度量准则，即以上所述的向量范数。

   在选择了合适的向量范数后，对应的矩阵范数表示该度量规则下矩阵变换前后的最大差异，则有：

   1）使用矩阵每列绝对值之和的最大值表示矩阵A的  范数；

   2）使用矩阵每行绝对值之和的最大值表示矩阵A的  范数；

   3）使用  （矩阵 最大特征值开平方）表示矩阵A的  范数。

 

椭圆

    标准椭圆解析方程为 ， a, b表示椭圆在xy方向上的半轴长度。

    将标准椭圆旋转  弧度后，相当于对当前坐标下图形上所有点旋转  弧度后满足标准方程，则有 。

    从原点构建一条射线 ，射线与旋转  弧度后椭圆相交于一点，如何求该点坐标，方法如下：

    1）旋转坐标系  弧度，在该坐标系下椭圆为标准椭圆；

    2）原射线在新坐标系下表示为 ， 在该射线上存在一点满足标准椭圆方程 ，求解出新坐标系下交点坐标；

    3）将求解出交点坐标旋转  弧度即得到交点坐标。

 

分部积分法

    求解积分 ，可使用分部积分法，具体思路如下：

    1）根据积分乘法法则： ，可做如下变形：；

    2）两边积分得： ， ；

    3）令 u = x, dv = sinxdx，代入以上公式可得： ；

    4）解以上积分可得： 。

 

空间直线

   在  中，直线方程可表示为 。例如： 表示一条三维空间直线，可使用参数方程改写：

   令 ，有：

   ， 直线方向向量为：。

 

逆矩阵求解

    如果矩阵（方阵） A 存在逆矩阵，则等式  成立，可以使用 Gauss-Jordan Method 求逆矩阵，主要思路为对长方矩阵  进行消元法处理，当矩阵 A 经过消元后得到 I，矩阵 I 则变成了 。证明如下：

   1）对 A 消元过程可描述为  ；

   2）使用同样的消元矩阵作用于 I 可描述为：，结论得证。

   使用 Gauss-Jordan Method 求逆矩阵时，对矩阵 A 消元到 U 时并不停止消元，还需要继续对 U 消元，直到 U 变成对角矩阵，然后将对角矩阵化为单位矩阵。该过程同样作用于右边矩阵 I ，故 Gauss-Jordan Method 计算量较大，但逻辑简单明了，适合小矩阵时手动演算。更简单的方法是使用矩阵LU分解 + 多次回带即可求得逆矩阵。思路如下（假设3*3方阵）：

   1） 可被改写为： ，其中，，；

   2）拆分以上等式为三个线性方程组：；

   3）观察以上三个线性方程组，其中， 为矩阵 的列组成，其系数矩阵都为 A ，故仅需要一次LU分解，然后通过回带分别求解  即可。