图论—树的直径（树形DP、BFS）

\(\Huge{树的直径——树形DP、两次BFS}\)

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• 树形DP
• 两次BFS

不再详细解释代码，只记录完整模板。

例题练习：

1. 1207. 大臣的旅费 - AcWing题库

树形DP

可以计算负权边。

时间复杂度：\(O(n)\)。

设\(D[x]\)表示从节点\(x\)出发走向以\(x\)为根的字数，能够到达的最远节点的距离；设\(y_i\)表示子节点，\(edge(x,y)\)表示边权，则有：

\(D[x]=max_{1\le i\le t}(D[y_i]+edge(x_i,y_i))\)

设F[x]为经过节点x的最长链长度，则有：

\(F[x]=max_{1\le j<i\le t}(D[y_i]+D[y_j]+edge(x,y_i)+edge(x,y_j))\)

int res, n, b[N], d[N];
vector<PII> a[N];
void dp(int x) {
	b[x] = 1;
	for(int i = 0; i < a[x].size(); i ++ ) {
		int t = a[x][i].fi, u = a[x][i].se;
		if(b[t]) continue;
		dp(t);
		res = max(res, d[x] + d[t] + u);
		d[x] = max(d[x], d[t] + u);
	}
}

void Solved() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
        a[x - 1].push_back({y - 1, z});
        a[y - 1].push_back({x - 1, z});
    }
	dp(0);	
	cout << res << endl;
}

两次BFS

实现最长直径长度，计算出直径上的具体节点。

无法计算负权边！！！

时间复杂度：\(O(n)\)。

struct Node {int id, distance;};// 结点
struct Edge {int to, weight;};  // 边

vector<vector<Edge>> tree; //用于存储树的结构
vector<bool> visited;      //标记
vector<int> parent;        //存放父节点

Node bfs(int start) {// 第一次 BFS，从任意结点开始找到最远的结点
    queue<Node> q;
    visited.assign(tree.size(), false);
    q.push({start, 0});
    visited[start] = true;
    Node farthest = {start, 0};

    while (!q.empty()) {
        Node current = q.front(); q.pop();
        if (current.distance > farthest.distance) farthest = current;

        for (const Edge& edge : tree[current.id]) {
            if (!visited[edge.to]) {
                visited[edge.to] = true;
                q.push({edge.to, current.distance + edge.weight});
                parent[edge.to] = current.id; // 保存父节点信息
            }
        }
    }
    return farthest;
}

vector<int> diameter() {// 第二次 BFS，从最远的结点开始找到直径的另一端
    Node start = bfs(0);
    Node end = bfs(start.id);
    vector<int> path;
    path.push_back(end.id);

    // 从 end.id 向上回溯到 start.id，得到直径上的所有节点
    int current = end.id;
    while (current != start.id) {
        current = parent[current]; // 根据父节点数组回溯
        path.push_back(current);
    }

    reverse(path.begin(), path.end());
    path.push_back(end.distance);   //将最长直径一并返回
    return path;
}

int main() {
    int n; cin >> n;
    tree.resize(n); parent.resize(n, -1);

    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
        tree[x - 1].push_back({y - 1, z});
        tree[y - 1].push_back({x - 1, z});
    }

    vector<int> path = diameter();
    cout << path.back() << endl;    //输出最长直径
    path.pop_back();                //将答案删除
    for (int node : path)         //输出最长直径具体节点
        cout << node + 1 << " ";

    return 0;
}