About 欧拉反演

• 定义：欧拉函数 $\varphi(x)$ 是小于等于 $x$ 的数中与 $x$ 互质的数的数目。

常用性质：

1. 若 $x$ 为质数，那么 $\varphi(x) = x - 1$。
2. 如果 $x = 2n$ ($n$ 为奇数)，$\varphi(x) = \varphi(n)$，即 $\varphi(2n) = \varphi(n)$ ($n$ 为奇数)。
3. 若 $p$ 为质数，则 $\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$。
4. 当 $x > 2$ 时， $\varphi(x)$ 为偶数，即 $\gcd(n, x) = \gcd(n, n - x)$。
5. 小于 $n$ 的数中，与 $n$ 互质的数的总和为 $\varphi(n) * \frac{n}{2}(n > 1)$ 。
6. $n = \sum_{d|n} \varphi(d)$，即 $n$ 的因数（包括1与自己）的欧拉函数之和为 $n$。这条有叫 欧拉反演。

欧拉反演的证明如下：

$$\because \varphi(n) = \sum_{i = 1}^{n}[\gcd(i, n) = 1]$$

$$\therefore \sum_{d|n} \varphi(d) = \sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{n}[\gcd(i, n) = d]$$

$$\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{n}[\gcd(i, n) =d] = \sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i, \frac{n}{d}) = 1]$$

为什么这一步可以这样化简呢，你同时把 $i, n$ 除以 $d$，就变成了 $\frac{i}{d}$ 和 $\frac{n}{d}$，但是你 $i$ 是拿去枚举的，所以只是 $i$ 的枚举范围变了。

$$\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i, \frac{n}{d}) = 1] = \sum_{d|n} \varphi(\frac{n}{d})$$

$$\sum_{d|n} \varphi(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \varphi(n)$$

因为你 $d$ 是整除 $n$ 的，并且一个数的因数是两两对应的，所以 $\varphi(\frac{n}{d})(d|n) = \varphi(n)$。

形象一点理解就是这样：

for (int i = 1; i * i <= n; i ++ )
{
    if (n % i == 0)
    {
        i and n / i are factors of n.
    }
}