四元数

我们定义一个标量和一个向量来表示四元数

\[q=[s,v]^T \]

其中 \(s=q_{0}\in \mathbb{R}\) 为标量，\(v=[x,y,z]^T\) 为向量

1 四元数的运算

1.1 加法

\[q_{a}\pm q_{b}=[s_{a}\pm s_{b},v_{a}\pm v_{b}]^T \]

1.2 乘法

\[q_{a}q_{b}=[s_{a}s_{b}-v_{a}v_{b},s_{a}v_{b}+s_{b}v_{a}+v_{a}\times v_{b}]^T \]

1.3 四元数的模

四元数 q 的模 \(\mid\mid q\mid\mid=\sqrt{ s_{a}^2+x^2+y^2+z^2}\)

1.4 共轭和逆

四元数 \(q=[s,v]^T\) 的共轭为

\[q^*=[s,-v]^T \]

它的逆为

\[q^{-1}=\frac{q^*}{\mid\mid q\mid\mid} \]

2 四元数表示旋转

那么，四元数具体怎么表示旋转呢，加入对于笛卡尔系中的一个三维点 \((x,y,z)\)
写成四元数的形式

\[p=[0,x,y,z]^T \]

那么它旋转之后为

\[p'=qpq^{-1} \]

取出 \(p'\) 的虚部就是旋转后的点。
每一个四元数会对应一个旋转矩阵和旋转向量。