李群和李代数

1 群和李代数

1.1 群

群是抽象代数的概念，群是一种集合加上一种运算的代数结构，我们将集合记作 \(A\), 那么群就可以记作是 \(G=(A,.)\)，该运算满足如下几个条件

• 封闭性 \(\forall a_{1}, a_{2} \in A, a_{1} \cdot a_{2} \in A\)
• 结合律 \(\forall a_{1}, a_{2} a_{3}\in A,(a_{1} \cdot a_{2})\cdot a_{3}=a_{1} \cdot (a_{2}\cdot a_{3})\)
• 幺元 \(\exists e(单位元) \in A,\forall a_{1} \in A,a_{1} \cdot e=e\cdot a_{1} =a_{1}\)
• 逆\(\forall a \in A,\exists a^{-1} \in A,a \cdot a^{-1}=a_{0}\)
  容易验证，旋转矩阵和平移矩阵都组成群。有如下几个特殊的群：
• 一般线性群
• 特殊正交群 \(SO(3)={R\in \mathbb{R}^{3 \times 3},RR^T=I,\det(R)=1}\)
• 特殊欧式群 \(SE(3)=\begin{bmatrix} R & t \\ 0^T & 1 \end{bmatrix}\)

1.2 李代数的引出

对于任意旋转矩阵 \(R\)

\[RR^T=I\implies R(t)\cdot R(t)^T=I \tag{1.1} \]

等式两边对 \(t\) 进行求导可得

\[\dot{R(t)} R(t)^T=-[\dot{R(t)} R(t)^T]^T \tag{1.2} \]

由上所得，\(\dot{R(t)} R(t)\) 是一个反对称矩阵。对于任意一个反对称矩阵，可以找到一个向量表示成反对称矩阵

\[a^{\wedge}=A=\begin{bmatrix} 0 & -a_{3} &a_{2}\\ a_{3} & 0& -a_{1}\\-a_{2} &a_{1} & 0 \end{bmatrix} \tag{1.3} \]

所以

\[\dot{R(t)} R(t)^T=\phi(t)^{\wedge} \tag{1.3} \]

式 (1.4)两边乘 \(R(t)\)，注意 \(R(t)^TR(t)=I\), 所以化简得

\[\begin{align} \dot{R(t)} R(t)^{T}R(t)=\dot{R(t)}&=\phi(t)^{\wedge} \cdot R(t) \\ &=\begin{bmatrix} 0 & -\phi_{3} &\phi_{2}\\ \phi_{3} & 0& -\phi_{1}\\-\phi_{2} &\phi_{1} & 0 \end{bmatrix}\cdot R(t) \end{align} \tag{1.4} \]

我们假设，假设啊，\(R(0)=I\)，然后在 \(t=0\) 的附近对旋转矩阵做泰勒展开

\[\begin{align} R(0)&=R(t_{0})+\dot{R(0)}(t-t_{0}) \\ &=I+\phi(t)^{\wedge}t \end{align} $\]