原码、反码、补码、移码

《计算机组成原理》上讲得不清楚。我总结了一下，希望对大家有帮助。

原码、反码、补码和移码，都是计算机对数的一种编码，其目的是方便地实现数据的存储和计算。

我们讨论的都是符号数。首先给出真值和机器数的定义。

符号数的真值，是指直接用正号“+”和负号“-”来表示符号的二进制数。机器数，是把符号位和数值位一起编码的二进制数。一般用最高有效位来表示数的符号，正数用0表示，负数用1表示。例如，真值+1001，对应的机器数为01001；真值-1001，对应的机器数为11001。

原码

原码，即符号位加上二进制数的绝对值，最高位表示符号位，对于正数，符号位记为0，对于负数，符号位记为1，其余各位表示数值部分。例如，真值+1001，对应的原码为01001；真值-1001，对应的原码为11001。

接下来讨论原码表示的数的范围。我们从简单的入手，假如有一个两位二进制数，那么它有四种状态，即00或01或10或11，它可以表示1、2、3、4，若把最高位看作符号位（把它看作原码），则可以表示-1、-0、+0、+1。推广得到，对于n位的二进制数，其原码表示的数的范围为：-(2^{(n-1)-1)～-0～+0～(2}(n-1)-1)。

从原码的定义可以看到，这是一种很简单的编码。原码的存储也很简单，只要增加一个符号位就可以了。那么，它在计算中表现如何呢？

我们不考虑溢出。经过简单的计算可以知道，对于两个正数或两个负数之间的加法，原码是没有问题的。但对于正数和负数之间的加法，则出现了错误。例如，用8位二进制数的原码表示，

2 + (-3) = 00000010 + 10000011 = 100000101 = -5

2 + (-2) = 00000010 + 10000010 = 10000100 = -4

为了解决这个问题，我们引入了补码。

补码

我们先以钟表对时为例说明补码的概念。假设现在的标准时间为4点整，而有一只表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7 - 4 = 3格；一是将时针向前拨12 - 3 = 9格。这两种方法都能对准到4点，由此看出，减3和加9是等价的。就是说9是(-3)对12的补码，可以用数学公式表示为-3 = +9 (mod 12)。mod 12的意思就是12为模数，这个“模”表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。

上例中之所以7 - 3和7 + 9 (mod 12)等价，原因就是表指针超过12时，将12自动丢掉，最后得到16 - 12 = 4。

从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。这样，在计算机中实现起来就比较方便。只需设计一个加法器就能实现数据的加减运算。

举个例子，

9 + (-6) = 01001 + 10110(原码) = 01001 + 11010(补码) = 100011 = 3

最前面的进位1丢弃了。其实应该倒过来求，已知100011和01001，求-6的补码。通过观察验证，我们得到了补码的求法：

在补码表示法中，正数的补码表示同原码和反码的表示是相同的，而负数的补码表示却不同。对于负数的补码，其符号位为1，而数值部分是将其原码数值部分“按位求反，末位加1”而得到的。例如，真值+1001，对应的补码为01001；真值-1001，对应的补码为10111。

接下来讨论补码表示的数的范围。继续从简单的入手，补码00、01、11分别表示0、1、-1,由数的补码表示与真值的关系（按权展开并相加）得，补码10表示-2^{1。推广得到，对于n位二进制数，其补码表示的数的范围为：-2}(n-1)～(2^(n-1)-1)。

补码的存储很简单，增加一个符号位，并用它的定义求出其数值位。

对于补码的计算，我们验证一下上面的式子，

2 - 3 = 2 + (-3) = 00000010 + 11111101 = 11111111 = -1

2 - 2 = 2 + (-2) = 00000010 + 11111110 = 00000000 = 0

说明补码能实现数据的加减运算。

反码

反码是连接原码和补码的桥梁。通过反码可以很容易地求出补码。接下来给出反码的定义。

用反码表示时，左边第一位也是符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数，对于负数，反码的数值是将其原码数值按位求反而得到的，而对于正数其反码和原码相同。例如，真值+1001，对应的反码为01001；真值-1001，对应的反码为10110。

反码表示的数的范围，通过类比，发现跟原码一样，即对于n位二进制数，其反码表示的数的范围为：-(2^{(n-1)-1)～-0～+0～(2}(n-1)-1)。

移码

对于浮点数，补码可以用于尾数的表示，但用补码来表示阶码，则有些不妥。因为补码有正负号，不便于比较两个指数的大小。对于8位二进制数的补码，它的范围是-128～+127。如果我们加上128，则它的范围变为0～255。这样我们就可以方便地比较两个指数的大小了。例如，-127的补码是10000001，加上128变成00000001，而0的补码是00000000，加上128变成10000000。我们把最高位看作数值位，则可以明显地看出0大于-127。因此我们引入移码。

移码通常用于表示浮点数的阶码。阶码是个k位的整数，最高位为符号位。移码的一般定义是：[e]移 = 2^k + e，其中[e]移为机器数，2^{k是一个固定的偏移值常数，e是真值且其范围为-2}k <= e < 2^k。例如，k = 4，真值+1001，对应的移码为1,1001；真值-1001，对应的移码为0,0111。

在IEEE 32位浮点格式中，阶码字段k = 8位，固定的偏移值常数不是2^k，而是2(k-1) - 1 = 2^7 - 1 = 127。这样，指数真值e的范围为-127～+128，阶码E的范围为0～255。由于要除去E用全0和全1表示零和无穷大的特殊情况，E的范围变为1～254，真正的指数值e的范围变为-126～+127。