量子隐形传态

1. 初始状态与总态

Alice 要传输的未知态为：

\[|\psi\rangle_m = \alpha|0\rangle_m + \beta|1\rangle_m \]

他们共享的纠缠态为最大纠缠态（Bell态）：

\[|\Phi^+\rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A0_B\rangle + |1_A1_B\rangle) \]

三个粒子的总态为 \(|\psi\rangle_m \otimes |\Phi^+\rangle_{AB}\)。

2. 展开总态

将总态在 Alice 手里的 m 和 A 粒子的四个 Bell 基 下展开，标准展开式为：

\[\begin{aligned} |\psi\rangle_m |\Phi^+\rangle_{AB} = \frac{1}{2} \Big[ &|\Phi^+\rangle_{mA} \otimes (\alpha|0\rangle_B + \beta|1\rangle_B) \\ + &|\Phi^-\rangle_{mA} \otimes (\alpha|0\rangle_B - \beta|1\rangle_B) \\ + &|\Psi^+\rangle_{mA} \otimes (\alpha|1\rangle_B + \beta|0\rangle_B) \\ + &|\Psi^-\rangle_{mA} \otimes (\alpha|1\rangle_B - \beta|0\rangle_B) \Big] \end{aligned} \]

3

Alice 的联合测量结果为 \(|\Psi^-\rangle_{mA}\)。
根据上面的展开式，当测量结果投影到 \(|\Psi^-\rangle\) 时，Bob 手里的 B 粒子会瞬间塌缩为：

\[|\psi\rangle_B = \alpha|1\rangle_B - \beta|0\rangle_B \]

4. 确定所需的酉变换（Pauli门）

Bob 现在的态是 \(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle\)，他需要把它变回原来的 \(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)。

我们来测试各 Pauli 门的效果：

• 施加 \(X\) 门（比特翻转）：\(X(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle) = \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle\)。符号不对，β 变成了负号。
• 施加 \(Z\) 门（相位翻转）：\(Z(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle) = -\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle\)。完全不对。
• 先施加 \(X\) 再施加 \(Z\)（即 \(ZX\)）：
  \[ZX(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle) = Z(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle) = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \]
  还原

而 \(ZX = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\)。

在 Pauli 矩阵中，\(iY = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\)（因为 \(Y = \begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}\)，乘以 \(i\) 得 \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\)）。

因此，Bob 需要施加的正是 \(iY\) 门。

---

总结：隐形传态 Pauli 门速查表（考试直接背）

Alice 测量结果	Bob 得到的态	Bob 需要执行的门
\(|\Phi^+\rangle\)	\(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)	\(I\)（不动）
\(|\Phi^-\rangle\)	\(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle\)	\(Z\)（修正相位）
\(|\Psi^+\rangle\)	\(\alpha|1\rangle + \beta|0\rangle\)	\(X\)（修正比特）
\(|\Psi^-\rangle\)	\(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle\)	\(iY\)（同时修正比特和相位）