2FSK（二进制频移键控）

摘要

二进制频移键控（2FSK，Binary Frequency Shift Keying）是数字通信中一种经典且重要的调制方式。它通过载波频率的变化来表征二进制数字信息“0”和“1”。相比于ASK和PSK，2FSK具有抗信道衰落能力强、实现简单等优点，广泛应用于低速数据传输（如GSM、低频RFID）和深空通信中。本文将从数学模型出发，分析2FSK的调制与解调机制，并基于加性高斯白噪声（AWGN）信道推导其误码率（BER）性能

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2FSK调制原理

信号定义

2FSK信号利用两个不同频率的正弦载波来分别表示二进制符号“1”和“0”。
设输入的二进制序列为 \(\{b_n\}\)，其中 \(b_n \in \{0, 1\}\)。在一个码元周期 \(T\) 内，2FSK信号的时域表达式为：

\[s(t) = \begin{cases} A \cos(2\pi f_1 t + \phi_1), & \text{发送符号 "1"} \\ A \cos(2\pi f_2 t + \phi_2), & \text{发送符号 "0"} \end{cases} \]

其中：

• \(A\) 为信号幅度；
• \(f_1\) 和 \(f_2\) 分别是两个对应的载波频率；
• \(\phi_1, \phi_2\) 为初始相位。

频率间隔与正交性

为了在接收端能够区分这两个信号，\(f_1\) 和 \(f_2\) 的选择至关重要。为了保证最佳的抗噪性能，通常要求两个频率信号满足正交性，即：

\[\int_{0}^{T} \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) \, dt = 0 \]

对于相位连续或不连续的FSK，满足正交性的最小频率间隔为 \(\Delta f = |f_1 - f_2| = \frac{1}{2T}\)。这种特定配置被称为正交2FSK或最小频移键控（MSK）的基础形式。若 \(\Delta f\) 远大于 \(1/T\)，则称为宽带FSK，虽易于实现但占用带宽较大。

调制实现

在硬件实现上，2FSK主要有两种产生方式：

1. 键控法： 利用数字基带信号控制两个独立的独立振荡器（如锁相环PLL或DDS）的输出。这种方法产生的信号相位通常是不连续的，实现简单。
2. 直接调频法： 利用模拟压控振荡器（VCO），基带信号直接控制振荡频率。这种方法产生的信号相位是连续的，具有较好的频谱特性。

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信道传输模型

我们假设信道为理想的加性高斯白噪声（AWGN）信道。接收端收到的信号 \(r(t)\) 是发送信号 \(s(t)\) 与高斯白噪声 \(n(t)\) 的叠加：

\[r(t) = s(t) + n(t) \]

其中，\(n(t)\) 的双边功率谱密度为 \(\frac{N_0}{2}\)（W/Hz）。

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2FSK解调过程

解调的核心任务是从受噪声污染的接收信号中恢复出原始的二进制序列。2FSK的解调主要分为相干解调和非相干解调。

相干解调

相干解调要求接收端产生与发送端同频同相的本地载波。其系统框图包含上下两个支路。
处理流程：

1. 混频： 接收信号分别与本地载波 \(\cos(2\pi f_1 t)\) 和 \(\cos(2\pi f_2 t)\) 相乘。
2. 低通滤波（LPF）： 滤除 \(2f_1\) 和 \(2f_2\) 的高频分量，取出包络。
   • 上支路输出（对应 \(f_1\)）：\(y_1(t) = \begin{cases} A + n_1(t) \\ n_1(t) \end{cases}\) （取决于发1还是发0）
   • 下支路输出（对应 \(f_2\)）：\(y_2(t) = \begin{cases} n_2(t) \\ A + n_2(t) \end{cases}\)
   • 其中 \(n_1(t), n_2(t)\) 是低通滤波后的高斯噪声，均值为0，方差为 \(\sigma_n^2 = \frac{N_0}{2T}\)（假设匹配滤波器或理想积分）。
3. 抽样判决： 在码元结束时刻 \(t=kT\) 对两支路进行抽样，比较其大小。
   • 判决规则：若 \(y_1 > y_2\)，判为“1”；否则判为“0”。
     相干解调性能最优，但电路复杂，需要复杂的载波恢复电路（如科斯塔斯环的变体）。

非相干解调

非相干解调不需要提取相位信息，利用包络检波器或鉴频器实现。
处理流程（包络检波法）：

1. 分别通过中心频率为 \(f_1\) 和 \(f_2\) 的带通滤波器（BPF）。
2. 各自连接一个包络检波器，提取信号的幅度包络。
3. 抽样判决：比较两个包络的大小。
   由于避开了相位同步的难题，非相干解调结构简单，成本低廉，在工程中应用极为广泛，但其信噪比门槛略高于相干解调。

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系统性能分析

误码率（BER）是衡量通信系统性能最关键的指标。我们将分析相干解调和非相干解调在不同信噪比下的误码率表达式。

信号与噪声模型

定义平均每个比特的能量为 \(E_b = \frac{A^2 T}{2}\)。
单边噪声功率谱密度为 \(N_0\)。
定义解调器输入端的信噪比为 \(\gamma = \frac{E_b}{N_0}\)。

相干解调误码率推导

在发送“1”时，上支路输出为信号加高斯噪声 \(A + n_1\)，下支路仅为噪声 \(n_2\)。
误码发生在 \(n_2 > A + n_1\) 时，即 \(n_2 - n_1 > A\)。
令 \(z = n_2 - n_1\)。由于 \(n_1, n_2\) 是独立同分布的高斯变量，方差均为 \(\sigma^2\)，则 \(z\) 服从均值为0、方差为 \(2\sigma^2\) 的高斯分布。
对于最佳接收机（匹配滤波器），\(\sigma^2 = \frac{N_0}{2}\)。
发送“1”时的误判概率为：

\[P(e|1) = P(z > A) = \int_{A}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot N_0}} \exp\left(-\frac{z^2}{2N_0}\right) dz \]

令 \(x = \frac{z}{\sqrt{N_0}}\)，且 \(A = \sqrt{\frac{2E_b}{T}} \cdot \sqrt{T} = \sqrt{2E_b}\)，则 \(A/\sqrt{N_0} = \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\)。

\[P(e|1) = Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) \]

由于系统对称，总误码率为：

\[\boxed{BER_{coh} = Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)} \]

非相干解调误码率推导

非相干解调涉及包络检波，输出信号服从莱斯分布，纯噪声输出服从瑞利分布。
利用莱斯分布与瑞利分布的积分计算，在满足正交条件（\(\Delta f = \frac{k}{2T}\)）下，误码率公式为：

\[\boxed{BER_{non-coh} = \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{E_b}{2N_0}\right)} \]

性能对比与信噪比影响分析

我们可以通过上述公式分析不同信噪比下的表现：

1. 低信噪比区域（\(E_b/N_0 < 0\) dB）：
   此时噪声主导。相干解调比非相干解调有显著的性能优势。非相干解调的包络检波器对噪声的抑制能力较弱，误码率下降曲线较缓。
2. 高信噪比区域（\(E_b/N_0 > 10\) dB）：
   两种解调方式的误码率均随信噪比呈指数下降。利用Q函数的渐近近似 \(Q(x) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)，可以看到相干解调的误差底更低。
   在大信噪比下，相干解调比非相干解调约有 1~1.5 dB 的信噪比增益。
3. 与2PSK的对比：
   作为参考，2PSK（相干）的误码率为 \(Q(\sqrt{2E_b/N_0})\)。
   相比之下，2FSK（相干）在相同误码率下，需要比2PSK高 3 dB 的信噪比。这是因为2FSK是正交信号，信号空间中的距离不如2PSK（反相信号）远。

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总结

2FSK作为一种经典的数字调制技术，其核心价值在于利用频率正交性传输信息。

• 调制层面： 关键在于频率间隔 \(\Delta f\) 的选择，需在带宽效率（\(\Delta f = 1/2T\)）和实现复杂度之间取得平衡。
• 解调层面： 相干解调利用相位信息，获得了最优的误码率性能 \(Q(\sqrt{E_b/N_0})\)；非相干解调虽然牺牲了约1dB的增益，但换来了电路结构的极简化和鲁棒性。
• 系统性能： 在高斯白噪声信道中，2FSK的抗噪性能优于ASK，但劣于PSK。在低信噪比或存在多普勒频移的复杂信道中，非相干2FSK往往因其不依赖相位同步的特性而成为首选方案。
  在实际工程设计中，如果系统对功耗和成本敏感且允许一定的性能折衷，非相干2FSK是极佳的选择；而在对数据传输可靠性要求极高的场景下，则应采用相干解调或更先进的调制方式（如MSK或GFSK）。