S盒的代数次数盒代数项数

例题

给定S盒映射 \(S(f_1,f_2,f_3): (x_1,x_2,x_3) \to (y_1,y_2,y_3)\)，输入输出对应关系如下：

输入 \((x_1,x_2,x_3)\)	000	001	010	011	100	101	110	111
输出 \((y_1,y_2,y_3)\)	011	111	100	001	101	010	000	110

1. 分量函数的真值表提取

分量函数 \(f_1,f_2,f_3\) 分别对应输出的第1、2、3位，因此需从输出中拆分出每个分量的真值表（输入→输出位的映射）：

• \(f_1\) 真值表：\((000→0, 001→1, 010→1, 011→0, 100→1, 101→0, 110→0, 111→1)\)
• \(f_2\) 真值表：\((000→1, 001→1, 010→0, 011→0, 100→0, 101→1, 110→0, 111→1)\)
• \(f_3\) 真值表：\((000→1, 001→1, 010→0, 011→1, 100→1, 101→0, 110→0, 111→0)\)

分量函数的代数标准型（ANF）计算

代数标准型（Algebraic Normal Form, ANF）是布尔函数的“无取非”表示，形式为：
\(f(x_1,x_2,x_3) = a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus a_3x_3 \oplus a_{12}x_1x_2 \oplus a_{13}x_1x_3 \oplus a_{23}x_2x_3 \oplus a_{123}x_1x_2x_3\)
其中 \(a_i \in \{0,1\}\)，系数通过莫比乌斯变换（真值表→ANF的核心方法）计算。

1. 以 \(f_1\) 为例：ANF与代数特性分析

（1）真值表转最小项表达式

\(f_1\) 为1的输入对应最小项（变量取原/反取决于输入位，001对应 \(\overline{x_1}\overline{x_2}x_3\)）：
\(f_1 = \overline{x_1}\overline{x_2}x_3 \oplus \overline{x_1}x_2\overline{x_3} \oplus x_1\overline{x_2}\overline{x_3} \oplus x_1x_2x_3\)

（2）莫比乌斯变换求ANF系数

通过“异或累加”计算每个乘积项的系数（以 \(a_{123}\) 为例，需累加所有含 \(x_1x_2x_3\) 的最小项）：

• 常数项 \(a_0 = f_1(000) = 0\)
• 一次项 \(a_1 = f_1(000) \oplus f_1(100) = 0 \oplus 1 = 1\)；\(a_2 = f_1(000) \oplus f_1(010) = 0 \oplus 1 = 1\)；\(a_3 = f_1(000) \oplus f_1(001) = 0 \oplus 1 = 1\)
• 二次项 \(a_{12}=a_{13}=a_{23}=0\)（累加后为0）
• 三次项 \(a_{123}=1\)
  因此 \(f_1\) 的ANF为：
  \(f_1 = x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_1x_2x_3\)
  （注：原最小项表达式化简后与ANF一致，因无二次项抵消）

（3）代数次数与项数

• 代数次数：ANF中最高次乘积项的变量数（\(x_1x_2x_3\) 为3次，故次数=3）
• 代数项数：ANF中非零系数的乘积项个数（\(x_1,x_2,x_3,x_1x_2x_3\)，共4项）

2. \(f_2\) 与 \(f_3\) 的ANF及代数特性

（1）\(f_2\) 的ANF与分析

真值表：\([1,1,0,0,0,1,0,1]\)
莫比乌斯变换后ANF：
\(f_2 = 1 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus x_1x_2 \oplus x_2x_3\)

• 代数次数：2（二次项 \(x_1x_2,x_2x_3\)）
• 代数项数：5（非零项共5个）

（2）\(f_3\) 的ANF与分析

真值表：\([1,1,0,1,1,0,0,0]\)
莫比乌斯变换后ANF：
\(f_3 = 1 \oplus x_1 \oplus x_3 \oplus x_1x_3\)

• 代数次数：2（二次项 \(x_1x_3\)）
• 代数项数：4（非零项共4个）