算法学习|埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）

筛选出所有小于等于n的质数

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步骤

1. 初始化布尔数组：创建一个长度为 n+1 的数组 is_prime，初始时除 0 和 1 外，其他元素设为 True。
2. **标记非质数：从 2 开始遍历到 √n，若当前数 i 是质数，则将其所有倍数标记为非质数（从 i² 开始）。
3. 收集结果：遍历数组，收集所有标记为 True 的索引。

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实现

def sieve_of_eratosthenes(n):
    if n < 2:
        return []
    # 初始化布尔数组，默认所有数为质数
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0], is_prime[1] = False, False  # 0和1不是质数
    
    # 遍历到sqrt(n)
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            # 从i²开始标记，步长为i
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    
    # 收集所有质数
    primes = [i for i, prime in enumerate(is_prime) if prime]
    return primes

# 示例
n = 30
primes = sieve_of_eratosthenes(n)
print(primes)  # 输出 [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]（若n=30）

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关键点解析

1. 布尔数组初始化：

   is_prime = [True] * (n + 1)
   is_prime[0], is_prime[1] = False, False
   

   • 数组索引表示数值，is_prime[i] 为 True 表示 i 是质数。

2. 遍历范围优化：

   for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
   

   • 只需遍历到 √n，因为若 n 有大于 √n 的因数，其对应的小因数已被处理。

3. 标记倍数：

   for j in range(i * i, n + 1, i):
       is_prime[j] = False
   

   • 从 i² 开始标记，因为小于 i² 的倍数（如 i*2, i*3, ...）已被更小的质数处理过。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log log n)，接近线性时间。
• 空间复杂度：O(n)，存储布尔数组。

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应用场景

• 快速生成质数表
• 解决数学问题中的质数相关问题

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优化扩展

预筛小质数：预先处理小的质数（如2,3,5），减少标记次数。