位运算

作用于整数类型的运算对象，对二进制数位进行运算。

位与：& 当且仅当两个运算对象都为1时，该位为1

1 & 1 = 1
1 & 0 = 0
0 & 1 = 0
0 & 0 = 0

eg: 255 & 128 = 128

位或：| 当且仅当两个运算对象都为0时，该位为0

1 | 1 = 1
1 | 0 = 1
0 | 1 = 1
0 | 0 = 0

eg: 255 | 128 = 255

位取反：~ 将1置为0，将0置为1

~ 1 = 0
~ 0 = 1

eg: ~ 128 = 127

位异或：^ 当且仅当两个运算对象中只一个为1时，该位为1

1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0

eg: 255 ^ 128 = 127

左移： <<

将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。

左边二进制位丢弃不包括1时, 左移1位相当于乘以2。

eg: 3 << 2 = 12 (1100)

右移： >>

将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃.

右移1位相当于除以2（整数除法）。

eg: 7 >> 1 变成 3，也就是111 >> 1 变成了 11。 

位运算的性质

• x ^ x = 0 : 自己与自己做异或一定为0

• x ^ 0 = x : 一个数与0做异或还是它本身

位运算的应用：

 Info

位运算的应用较多，写法种类也有多种。下面的应用，建议大家只是在本地都要运行一遍，加深记忆。

此外考场上难免会有不知道的位运算应用，这个时候，手算，对比，找规律，就是最好的方式。

• 取末位(x & 1) 可用来判断奇数、偶数

• 操作x的第j位（从右向左数，最右边是第0位）

cpp

x | (1 << j)  //将 x 的第 j 位设置为1

x & ~(1 << j) //将 x 的第 j 位设置为0

x ^ (1 << j)  //将 x 的第 j 位取反

(x >> j) & 1  //取 x 的第 j 位

• 交换两个数: a ^= b ^= a ^= b;

• lowbit 运算

cpp

int lowbit(int x) {

  // 计算 x 的二进制中，最低位的 1 以及后面所有 0 组成的数。

  // lowbit(0b01011000) == 0b00001000

  //          ~~~~^~~~

  // lowbit(0b01110010) == 0b00000010

  //          ~~~~~~^~

  return x & -x;  // CSP中考过lowbit另一种写法 x&(x^(x-1))

}

• 计算1的个数

cpp

// 求 x 的二进制中1的个数

int popcount(int x) {

    int cnt = 0;

    while (x) {

        cnt++;

        x -= x & -x;

    }

    return cnt;

}

• 枚举子集 给定n个元素，问这n个元素组成的每一个集合的所有子集。(n≤15)

cpp

for (int S=1; S<(1<<n); ++S){

    for (int S0=(S-1)&S; S0; S0=(S0-1)&S)

        //do something.

}

测试程序

这里给出一个可以用来直观展示位运算运算数和运算结果的程序，当你对位运算不熟悉的时候，可以拷贝这段代码，在本地稍加改造后运行。

cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f(int a, int b){	

	return a | (1 << b);

}

void otp(int x){

	for (int i = 31; i >= 0; i--) printf("%d", (x >> i) & 1);

}

int main(){

int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);

• 思考题：下面4种操作的含义是什么？

cpp

x & (x + 1); 

x & (x - 1);

x | (x + 1);

x | (x - 1);