速算1/Sqrt(x)背后的数学原理

概述

        平方根倒数速算法,是用于快速计算1/Sqrt(x)的值的一种算法,在这里x需取符合IEEE 754标准格式的32位正浮点数。让我们先来看这段代码:

 1 float Q_rsqrt( float number )
 2 {
 3     long i;
 4     float x2, y;
 5     const float threehalfs = 1.5F;
 6 
 7     x2 = number * 0.5F;
 8     y  = number;
 9     i  = * ( long * ) &y;                        // evil floating point bit level hacking
10     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?
11     y  = * ( float * ) &i;
12     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
13 //    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed
14 
15 #ifndef Q3_VM
16 #ifdef __linux__
17     assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
18 #endif
19 #endif
20     return y;
21 }

        2010年,John Carmack公开了Quake III Arena的源代码,这段代码便出自其中,这种算法在游戏《雷神之锤III竞技场》(Quake III Arena)被广泛应用,作为《雷神之锤》3D游戏引擎的作者,该算法理所应当的被认为该是Carmark所创,但是后来Carmack在对Beyond3D上关于该段代码的作者的讨论回信表示这段代码并不是出自他之手,也许是其开发小组的另一位成员所写,而至今该算法的最终起源仍然是个谜。

魔数0x5f3759df

        此算法最为牛叉之处在于注释了what the fuck?的那一行代码,此处将浮点数作为整数右移一位,通过一个神秘的十六进制数0x5f3759df进行减法运算,便完成了牛顿迭代需要的第一次猜测值,而这次猜测值已经很接近满足精度的结果了,因此只通过了一次牛顿迭代就完成了所需精度的结果,其实就相当于直接进行计算就得到了所需结果。

32位浮点数在计算机中的存储方式

        如果要理解该段代码除了魔数一行的代码,就必须理解浮点数在计算机中的存储方式。任何数据在计算机内存中都是以二进制形式存在的,浮点数也不例外, 32位的浮点数在计算机中的存储方式如下图,分为三个部分:

 

  1. 标志位(Sign),第31位为标志位,1代表负数,0代表正数;
  2. 指数部分(Exponent),指数部分共占8位,而 float类型规定其偏移量为127,由于指数可正可负,对于8位二进制数其表示范围为[-128, 127];
  3. 尾数部分(Mantissa),表示有效数字位,由于尾数部分的整数部分恒为1,该位将不被存储,因此原本23位的尾数部分可以表示的精度就变成了24位;

因此在二进制科学计数法中,我们可以将任意的32位浮点数表示为:

而平方根倒数速算法中的第9行的目的就是将浮点数转化为32位整型数的表现形式。

牛顿迭代法

        牛顿迭代法又称为牛顿-拉菲森法(Newton-Raphson method),这种算法的原理就是一个求近似解的方法,该算法正是采用该方法来迭代平方根倒数的。

        要求F(x)=0的解,首先选取一个接近函数F(x)零点的点(x0, F(x0)),过该点做切线求得其与X轴交点的x的值记为x1,该值通常会比x0更接近方程的解,然后不断使用新的点进行迭代至满足的精度为止。

        在(x0, F(x0))点的斜率为,过该点的切线方程为,因此求得该切线与x轴的交点横坐标值,因此简化后的迭代公式为:

 以求该平方根倒数求值为例,通过该方法转化为求方程的解,申明,根据牛顿法,第一次迭代结果为:

而这也正好是算法中的第12行代码对该算法的应用。

Lomont的逆向数学推理

        对于该算法最让人难以理解的就是魔数0x5f3759df,对于这个问题,Purdue大学的数学家Chris Lomont在论坛上得知后觉得非常有趣,于是决定研究一下它的工作原理。

        Lomont在假设该算法成立的前提下(事实上已被广泛证实该算法的正确性),希望通过数学推理推导出该值。下面简要介绍一下Lomont的推导过程:

        由于是求平方根倒数,因此假设所有浮点数的标志位均为0,浮点数二进制科学计数公式简化为:

我们假设所求的魔数为R,那么第一次猜测值就可以表示为,其中i表示浮点数x的整数形式,R为整型,如下图:

在对i进行按位右移的过程中,因为i的二进制指数位可能会被右移到尾数部分,所以必须按两种情况分类讨论:

1. 当i的指数部分为偶数,那么指数部分的最低位为0,指数位将不会被右移到尾数部分中,而真正的指数e = E - 127就是奇数,令e = 2d + 1,那么在经过运算后,y0的指数部分的值为:

由于我们所求的平方根倒数大于0,所以新的指数部分也必须大于0,且E的取值在[0, 254]之间,所以R1 ≥ 128;因为E是偶数,所以指数位并没有移动到尾数中,所以运算之后尾数y0的尾数部分为:

如果,那么初始猜测值为:

如果,二进制减法正如十进制中的减法运算,需向指数部分借位,此时,

定义

那么

因为e = 2d + 1,那么我们要求解的平方根倒数的近似值为:

所以y和y0的相对误差则为:

那么根据要求相对误差需小于0.125,则可以推导出R2的取值范围(189.2, 190.7),所以R2=190=0xbe;

2. 当i的指数部分为奇数时,同理推导出:

如果我们希望以上两种情况的相对误差均小于0.125, R1确定且与E的奇偶无关,那么R1=190=0xbe,此时重新定义以上两个误差函数:

最终通过当M=0,1,以及R2=M/2的几个临界点获取相对误差最大值函数,然后在所有函数中获取使得这些误差函数值都最小的R2的值,这个值便是我们要找的结果,分类讨论一共得到了9个关于R2(取值范围是[0, 1))的函数:

 

最终这个求值过程交给Mathematica来完成,也不知为何我最后求得的结果和Lomont略有差异:

r0 = 0.432744889959443195468521587014

我求出的结果:

r0 = 0.432744834277619894180588744347

其他讨论

        Lomont求解魔数0x5f3759df的推导过程的前提是假设算法中

i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

这行代码成立,通过反推来求解魔数的,但是这行代码最初是如何得出的,依据是什么,Lomont并没有给出更多的解释或猜测,好在其他的论坛也有相关的讨论。

        在一则slashdot.org关于Origin of Quake3's Fast InvSqrt()的讨论中,kent.dickey的回复令人印象深刻,而我个人也非常赞同他的思路,非常简单的推导,也许他的这种思路才是该算法的最初雏形。

        他在回复中说:对于浮点数平方根倒数的求解,指数部分的初始猜测值就是对指数部分减求反(暂时忽略尾数部分,因为对于2以内的求解,一步就可以得到结果),比如求16的平方根倒数:

但是由于在内存中浮点数特殊的存储方式,因此在内存中指数的整型值为:

NewExpIntValueInMemory=(ActualExp+127) << 23

我们想要的指数结果是:

 NewActualExp=-ActualExp/2

由于在内存中:Exp=ActualExp+127,那么ActualExp=Exp-127,所以:

NewExp-127=-(Exp-127)/2

那么:

NewExp=127-(Exp-127)/2=(127×3)/2-Exp/2

那 么指数在内存中指数的整型值为:

所以在完全忽略尾数部分的前提下,初始猜测近似值为:

i=0x5F400000-i≫1

随后kent.dickey试图使用类似方法找到对于尾数部分的类似特定模式,遗憾的是没能找到,也许作者当初在有了这个思路(如果该思路真的就是原算法的雏形)之后,也采用了类似Lomont的暴力求解来获得更精确的初始猜测。

参考文献

posted @ 2013-10-24 21:15 LukyW 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏