1.1 矩阵的基本运算(1)

1.1 矩阵的基本运算(1)

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为什么需要矩阵？
我们都知道，计算一个像$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$这样的方程写出来很简单，但是在科学和工程中不可能所有的问题都可以用这样一维的方程解决，通常我们遇到的都是$m\times n$线性方程组：
$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \
\cdots \
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m$$
这个线性方程组用$m$个方程描述了$n$个未知变量之间的线性关系。方程看起来很繁琐，系数和变量的数据较多的情况下，使用矩阵和向量就可以简记为
$$\textbf{Ax}=\textbf{b}$$
其中$$\textbf{A}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \
\end{bmatrix},
\textbf{x}=\begin{bmatrix}
x_1\
x_2\
\vdots\
x_n
\end{bmatrix},
\textbf{b}=\begin{bmatrix}
b_1\
b_2\
\vdots\
b_n
\end{bmatrix}
$$
上面的$\textbf{A}$称为$m\times n$矩阵，$\mathbf{x}$、$\textbf{b}$分别是$n\times 1$、$m\times 1$向量，而且是列向量。同样行向量形如$\textbf{a}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。需要注意的是矩阵是可以转置的，如:$\textbf{b}^T=[b_1,b_2,\cdots,b_n]$

1.1.1 向量与矩阵

向量可以分为三类
（1）物理向量：泛指既有幅值，又有方向的物理量，如速度、加速度、位移等。
（2）几何向量：物理向量的可视化表示，是一种有向线段。如：$\overrightarrow{AB}$。
（3）代数向量：几何向量的代数形式表示。

代数向量根据元素取值的不同可以分为三类
（1）常数向量：向量的元素全部为实常数或者复常数，如：$\textbf{a}=[1,5,4]^T$。
（2）函数向量：向量的元素包含了函数值，如：$\textbf{x}=[1,x^2,\cdots,xn]^T$。
（3）随机向量：向量的元素为随机变量或者随机过程，如：$\textbf{x}(n)=[x_1(n),x_2(n),\cdots,x_m(n)]^T$，其中的每个元素分别是随机过程或随机信号。

因为能力有限所以可能部分向量加粗的时候没有用Markdown和Latex结合好，导致加粗的向量看起来别扭，尝试了很多方法没有解决，如果有大神有好的主意，谢谢评论~

补充知识

• 矩阵的定义：由$m \times n$个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n)$排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵，简称$m \times n$矩阵. 为了表示它是一个整体，总是加上一个括号，并且用大写黑体字母表示它，如开头的矩阵$\textbf{A}$. 矩阵中的每个数称为矩阵的元素.
• 元素是实数的称为实矩阵，元素是复数的称为复矩阵.
• 行数和列数都为n的称为n阶矩阵或n阶方阵.
• 只有一行的矩阵称为行矩阵又称为行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵又称为列向量
• 零矩阵：元素都是零的矩阵
• 对角矩阵：从左上角到右下角的直线以外的元素都是0的矩阵，又叫对角阵
• 单位矩阵：对角线上的元素都是1，其余都是0的矩阵，又叫做单位阵

后续内容：

1.1.2 矩阵的基本运算

1.1.3 向量的线性无关性与非奇异矩阵

1.1.4 初等行变换与阶梯形矩阵

1.1.5 基于初等行变换的矩阵方程求解