动态规划--背包问题总结
背包问题（物品下标从1开始）
0~1背包模版：
题目一般是要求：
给定一个容量给定的背包（就是物品体积和小于容量），然后有N个物品，每个的价值和每个的体积，然后每个物品能用1次或0次求最大价值。
方法步骤：
（1）状态表示：一般用二维数组 f[i][j]表示从前i个物品选体积小于等于j的最大价值。
（2）状态转移方程：
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//两部分取最大值
意思是f[i][j]包括两部分：
1.f[i-1][j]背包里不包括第i件物品，就是到前i-1体积就达到j,此时价值为f[i-1][j]。
2.f[i-1][j-v[i]]+w[i] 背包里包括第i个物品，也就是到第i-1件物品体积达到j-v[i],此时价值为f[i-1][j-v[i]]+w[i]
还有注意事项：
第一部分一定可以有
第二部分即包含第i个物品需要j>v[i]才能放第i个物品
方法一：用二维dp做0~1背包
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//f数组(动态规划数组dp)
int f[1200][1200];
//体积数组
int v[1200];
//价值数组
int w[1200];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=V;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
//能放得下v[i]
if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[N][V];
return 0;
}方法二：用一维dp进行优化
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//f数组(动态规划数组dp)
int f[1200];
//体积数组
int v[1200];
//价值数组
int w[1200];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=V;j>=v[i];j--){
//能放得下v[i]
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[V];
return 0;
}二维dp优化成一维dp的方法：
消除第一维，然后改写内层for
for(int j=V;j>=v[i];j--)从大到小完全背包：
与0~1背包相比区别是：
每件物品可以选0~多件
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1200];
int w[1200];
int dp[1200][1200];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;//N件物品，背包容量为V
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=V;j++){
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
cout<<dp[N][V];
return 0;
}核心代码
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=V;j++){
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
最外层遍历物品下标（从1开始），中层循环遍历体积，内层遍历第i种物品数
状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
//
包括第i种物品：
第i种物品可以有0~多件（0~k）
优化上面方案
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1200];
int w[1200];
int dp[1200][1200];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;//N件物品，背包容量为V
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=V;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[N][V];
return 0;
}优化方案：
原来：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
展开：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i],dp[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i]...);
展开：dp[i][j-v[i]]=max(dp[i-1][j-v[i]],dp[i-1][j-2*v[i]]+w[i],dp[i-1][j-3*v[i]]+2*w[i]...)
所以状态转移优化方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w);
对上述代码进行1维优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[1200];
int w[1200];
int dp[1200];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;//N件物品，背包容量为V
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=v[i];j<=V;j++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[V];
return 0;
}
0~1背包和完全背包总结
状态转移方程相同：
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])
外层循环i是1~n种物品
区别：
题意不同
0~1背包：每个物品有0~1件
完全背包：每个物品有0~多件
内层循环：
0~1背包：j从V到 v[i]
完全背包：j从v[i]到V
多重背包：
题意要求一般是：
给定一个容量给定的背包（就是物品体积和小于容量），然后有N个物品，每个的价值和每个的体积和每个物品限制个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[110];
int w[110];
int s[110];
int dp[110][110];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=V;j++){
for(int k=0;k<=s[i]&&j-k*v[i]>=0;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
cout<<dp[N][V];
return 0;
}
对多重背包的一维优化
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[11010];
int w[11010];
int dp[11010];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;
int a,b,s;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>a>>b>>s;//v,w,s
int k=1;
while(k<=s){
cnt++;
v[cnt]=a*k;
w[cnt]=b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s){
cnt++;
v[cnt]=a*s;
w[cnt]=b*s;
}
}
int n=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=V;j>=v[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[V];
return 0;
}总结：
方法用的是合并
a,b,s 为当前品种的体积价值和数量限制
k:1,2,4,8
然后s不断减k，k为当前件数
最后剩余的s再乘上当前体积价值
还要cnt++
最后int n=cnt
数组一般开多大:
向上取整（log2背包容量大小）+10；
分组背包问题：
vij表示第i种物品中的第j个物品的体积
wij表示第i种物品中的第j个物品的价值
查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[110][110];
int w[110][110];
int s[110];
int dp[110];
int main(){
int N,V;
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>s[i];
//每个品种的个数
for(int j=0;j<s[i];j++){
cin>>v[i][j]>>w[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=N;i++ ){
for(int j=V;j>=0;j--){
for(int k=0;k<s[i];k++){
if(j-v[i][k]>=0)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]) ;
}
}
}
cout<<dp[V];
return 0;
}代码分析：
1.物种下标从1开始，每个物种里的物品下标从0开始，即i从0开始，j从1开始
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>s[i];
//每个品种的个数
for(int j=0;j<s[i];j++){
cin>>v[i][j]>>w[i][j];
}
}
2.状态转移方程
dp[j ]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
然后三层循环
外：遍历1~N个物种
中：遍历体积[V，0]
内：0=<k<s[i]
条件：j-v[i][k]>=0
因为下标从0开始
背包 总结（一维数组）
- 0~1背包：（每件物品装入0~1件）
体积j从V到v[i]
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
- 完全背包：（每件物品0~多件）
体积j从v[i]到V
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
- 多重背包（每件物品0~限制的件数）
体积j从V到v[i]
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
- 分组背包(多个组，每组里面又有很多物品，每个物品的体积，价值输入。
体积 j从V到0
条件：j-v[i][k]>=0
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
浙公网安备 33010602011771号