P3017 [USACO11MAR]Brownie Slicing G

题意

有一块可以被看作一个 $R \times C$ 大小的方格的蛋糕，第 $i$ 行第 $j$ 列的方格上有 $N_{i,j}$ 块巧克力碎屑。

首先要水平方向切 $A-1$ 刀，把蛋糕分成 $A$ 条；接着，对于每一条，竖直切 $B-1$ 刀，分成 $B$ 块（注意，每一条蛋糕分割成 $B$ 小块的方式不必相同，每一刀都只能切沿整数坐标切）。

求问，巧克力碎屑最少的那块蛋糕最多有多少块巧克力碎屑。

分析

设答案为 $ans$，显然如果 $ans'<ans$，因为 $ans$ 最大，所以 $ans'$ 可以满足要求；如果 $ans'>ans$，就无法切出来。也就是说答案满足单调性，所以我们可以二分。

来一个不一样的二分

这里给出一个与其他题解不一样的二分。

提前做一下处理：因为计算中需要多次用到许多块的巧克力碎屑数，所以我们用二维前缀和存储每一块的和。

处理

for(int i=1;i<=r;i++)
	for(int j=1;j<=c;j++)
	{
		cin>>s[i][j];
		s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
	}

查询

#define S(a,b,c,d) s[c][d]+s[a-1][b-1]-s[c][b-1]-s[a-1][d]

先二分巧克力碎屑最少的那块蛋糕有 $x$ 块巧克力碎屑，边界最少为 $0$，最多为 $\text{S}(1,1,R,C)$。

int L=0,R=S(1,1,r,c);
while(L<R)
{
	int mid=(L+R+1)>>1;
	if(check(mid))//check(mid)代表当巧克力碎屑最少的那块蛋糕有mid块巧克力碎屑时是否可以切成
		L=mid;
	else
		R=mid-1;
}
cout<<L;

接下来我们写 $\text{check}(x)$ 函数。

先确定每一条的第一行 $r1$ 和最后一行 $r2$，循环 $A$ 次，每次令 $r2=r1$，令 $r2$ 不断增加，直到 $\text{S}(r1,1,r2,C)≥B\times x$，也就是这一条的和有可能分成每份不小于 $x$ 的 $B$ 份。

接着再令 $r2$ 不断增加，用 $\text{check2}(x,r1,r2)$ 函数表示当巧克力碎屑最少的那块蛋糕有 $x$ 块巧克力碎屑时，要把第一行为 $r1$，最后一行为 $r2$ 的一条分成符合要求的 $B$ 块是否可行，直到 $\text{check2}(x,r1,r2)=1$ 时，$r2$ 停止自增。这时我们找出了这一条满足要求时最小需要的行数。

在整个过程中，若 $r2>R$，也就是无法满足要求，则返回假，否则最后返回真。

bool check(int x)
{
	int r1,r2=0;
	for(int i=1;i<=a;i++)
	{
		r1=r2+1;//第一行会等于上一条最后一行+1
		r2=r1;
		if(r2>r)
			return 0;
		while(S(r1,1,r2,c)<x*b)
		{
			r2++;
			if(r2>r)
				return 0;
		}
		while(!check2(x,r1,r2))
		{
			r2++;
			if(r2>r)
				return 0;
		}
	}
	return 1;
}

最后我们来写 $\text{check2}(x,r1,r2)$ 函数。

先确定这一条的第一列 $c1$ 和最后一列 $c2$，循环 $B$ 次，每次令 $c2=c1$，令 $c2$ 不断增加，直到 $\text{S}(r1,c1,r2,c2)≥x$，这时就算切了一刀，这一块已符合要求。

在整个过程中，若 $c2>R$，也就是无法满足要求，则返回假，否则最后返回真。

bool check2(int x,int r1,int r2)
{
	int c1,c2=0;
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		c1=c2+1;//第一列会等于上一块最后一列+1
		c2=c1;
		if(c1>c)
			return 0;
		while(S(r1,c1,r2,c2)<x)
		{
			c2++;
			if(c2>c)
				return 0;
		}
	}
	return 1;
}

总体复杂度最坏情况下为 $Θ(RC\log \text{S}(1,1,R,C))$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define S(a,b,c,d) s[c][d]+s[a-1][b-1]-s[c][b-1]-s[a-1][d]
using namespace std;
const int N=5010;
int r,c,a,b,s[N][N];
bool check2(int x,int r1,int r2)
{
	int c1,c2=0;
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		c1=c2+1;
		c2=c1;
		if(c1>c)
			return 0;
		while(S(r1,c1,r2,c2)<x)
		{
			c2++;
			if(c2>c)
				return 0;
		}
	}
	return 1;
}
bool check(int x)
{
	int r1,r2=0;
	for(int i=1;i<=a;i++)
	{
		r1=r2+1;
		r2=r1;
		if(r2>r)
			return 0;
		while(S(r1,1,r2,c)<x*b)
		{
			r2++;
			if(r2>r)
				return 0;
		}
		while(!check2(x,r1,r2))
		{
			r2++;
			if(r2>r)
				return 0;
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
    cin>>r>>c>>a>>b;
	for(int i=1;i<=r;i++)
		for(int j=1;j<=c;j++)
		{
			cin>>s[i][j];
			s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
		}
	int L=0,R=S(1,1,r,c);
	while(L<R)
	{
		int mid=(L+R+1)>>1;
		if(check(mid))
			L=mid;
		else
			R=mid-1;
	}
	cout<<L;
	return 0;
}