SP27267 VECTAR4 - Changus Final Battle

题意

试构造一个正整数数列 $a_1,a_2,…,a_m$，使得这个数列满足以下条件：

• $a_1=a_m=1$。

• $a_i=a_{i-1}-1\ \text{or}\ a_{i-1}\ \text{or}\ a_{i-1}+1\$，$2≤i≤m$。

• $\sum_{i=1}^ma_i=n$。

求这个数列最短的长度。

最多有 $10^5$ 组数据，$1≤n≤10^{18}$。

分析

由于 $n$ 的范围超大，所以我们可以先打表找规律从 $n$ 较小的情况看。

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$ans$	$1$	$2$	$3$	$3$	$4$	$4$	$5$	$5$	$5$

看起来很有规律：$1,2$ 出现了 $1$ 次，$3,4$ 出现了 $2$ 次，$5$ 出现了 $3$ 次，那 $6$ 呢？

$n$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$ans$	$6$	$6$	$6$	$7$	$7$	$7$	$7$	$8$	$8$	$8$	$8$

这时的规律就不言自明了，不过还是看不出正解……

于是我们把这个表转一下：

$ans$	$ans$ 对应的 $n$	$ans$ 对应的 $\max(n)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$2$	$2$
$3$	$3,4$	$4$
$4$	$5,6$	$6$
$5$	$7,8,9$	$9$
$6$	$10,11,12$	$12$
$7$	$13,14,15,16$	$16$
$8$	$17,18,19,20$	$20$

如果你还看不出来，那我只好打出来了：

$\ \ 1=1\times1\ \$ $\ \ 2=1\times2$

$\ \ 4=2\times2\ \$ $\ \ 6=2\times3$

$\ \ 9=3\times3\ \$ $12=3\times4$

$16=4\times4\ \$ $20=4\times5$

$ans$ 对应的 $\max(n)=\left\lfloor\dfrac{(ans+1)\ \text{xor}\ 1}{2}\right\rfloor\times(\left\lfloor\dfrac{(ans+1)\ \text{xor}\ 1}{2}\right\rfloor+((ans+1)\ \&\ 1))$。

用人话来说，若 $ans$ 为偶数，则 $\max(n)=\left\lfloor\dfrac{ans}{2}\right\rfloor\times(\left\lfloor\dfrac{ans}{2}\right\rfloor+1)=\left\lfloor\dfrac{ans}{2}\right\rfloor^2+\left\lfloor\dfrac{ans}{2}\right\rfloor$；若 $ans$ 为奇数，则 $\max(n)=\left\lfloor\dfrac{ans+1}{2}\right\rfloor^2$。

又因为每个 $ans$ 对应的 $n$ 是连续的，所以我们可以根据 $n$ 所在的范围确定 $ans$，记 $a=\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor$，则：

$$n=\begin{cases}2\times a-1&n=a^2\\2\times a&a^2<n≤a\times(a+1)\\2\times a+1&n>a\times(a+1)\end{cases}$$

为什么是正确的呢？我们以 $a=3$ 来举例。

$n$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$a$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$
$ans$	$5$	$6$	$6$	$6$	$7$	$7$	$7$

一一对照就能发现上面 $n$ 的求法是对的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll t,n,a;
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
    	cin>>n;
    	a=sqrt(n);
    	if(n==a*a)
    		cout<<a*2-1<<endl;
    	else if(n<=a*(a+1))
    		cout<<a*2<<endl;
    	else
    		cout<<a*2+1<<endl;
	}
	return 0;
}