约数

正约数集合

试除法

求出 $N$ 的正约数集合。

$O(\sqrt N)$。

int m;
int factor[1600];
void q_factor(int n){
	for (int i=1;i*i<=n;i++){
		m=0;
	    if(n%i==0){
	        factor[++m]=i;
	        if(i^n/i)
				factor[++m]=n/i;
	    }
	}
}

$factor_{1\sim m}$ 就是 $N$ 的正约数集合。

倍数法

求出 $1\sim N$ 的正约数集合。

$O(N\log N)$。

vector<int>factor[500010];
void q_factor(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n/i;j++)
	        factor[i*j].push_back(i);
}

$factor_{i,0\sim factor_i.size()-1}$ 就是 $i$ 的正约数集合。

最大公约数

更相减损术

long long gcd(long long a,long long b){
    return b?((a%2||b%2)?gcd(b,abs(a-b)):2*gcd(a/2,b/2)):a;
}

欧几里得算法

$O(log(a+b))$。

long long gcd(long long a,long long b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

最小公倍数

long long lcm(long long a,long long b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}

欧拉函数

求某个数的欧拉函数

$O(\sqrt N)$。

long long phi(long long n){
    long long ans=n;
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

利用 Eratosthenes 筛法求 $2\sim N$ 的欧拉函数

$O(N\log N)$。

int phi[N];
void euler(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++)
	    phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(phi[i]==i)
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

利用线性筛法优化求 $2\sim N$ 的欧拉函数

$O(N)$。

int m;
int v[N],prime[N],phi[N];
void euler(int n){
	memset(v,0,sizeof(v));
	m=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!v[i]){
			v[i]=prime[++m]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)
			    break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
		}
	}
}

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