组合计数

排列数 $A_n^m/P_n^m$

long long A(long long m,long long n,long long mod){
	long long ans=1;
	for(long long i=n-m+1;i<=n;i++)
		ans=ans*i%mod;
	return ans;
}

时间复杂度 $O(n)$。

组合数 $C_n^m$

暴力

long long C(long long m,long long n,long long mod){
	m=min(m,n-m); 
	long long ans=1;
	for(long long i=n-m+1;i<=n;i++)
		ans=ans*i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ans/=i; 
	return ans;
}

时间复杂度 $O(n)$。

递推

通过递推求出 $C_1^1\sim C_n^m$。

long long C[N][N]; 
void C_init(long long m,long long n,long long mod){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		C[1][i]=i;
	for(int i=2;i<=m;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			if(i^j)
				C[i][j]=(C[i][j-1]+C[i-1][j-1])%mod;
			else
				C[i][j]=1;
}

预处理 $O(nm)$，查询 $O(1)$。

预处理阶乘及其逆元

$m,n$ 同阶

预处理阶乘 $jc$ 及其逆元 $jc\_inv$，通过公式求出组合数。

需要乘法逆元。

long long jc[N],jc_inv[N],mod;
void C_init(long long n){
	jc[0]=jc[1]=1%mod;
	for(long long i=2;i<=n;i++)
		jc[i]=(jc[i-1]*i%mod);
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		jc_inv[i]=qni_fm(jc[i],mod);
}
long long C(long long m,long long n){
	return jc[n]*jc_inv[m]%mod*jc_inv[n-m]%mod;
}

预处理 $O(\max(n,m)\log mod)$，查询 $O(1)$。

$m$ 特小，$n$ 特大

需要乘法逆元。

long long inv[N],mod;
void C_init(int maxm){
    for(int i=1;i<=maxm;i++)
    	inv[i]==qni_fm(i,mod);
}
long long C(long long m,long long n){
	if(m<0||n<0||m>n)
		return 0;
	n%=mod;
	if(!n||!m)
		return 1;
	long long ans=1;
	for(int i=n;i>n-m;i--)
		ans=ans*i%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ans=ans*inv[i]%mod;
	return ans;
}

预处理 $O(m\log mod)$，查询 $O(mod)$。

利用 $\text{Lucas}$ 定理

需要前面任何一种组合数求法 $C_n^m$。

long long LC(long long m,long long n,long long mod){
	if(!m)
		return 1;
	return LC(m/mod,n/mod,mod)*C(m%mod,n%mod,mod)%mod;
}

多重集的排列数 $MA_n^m/MP_n^m$

需要乘法逆元。

long long jc[N],jc_inv[N],mod;
void MA_init(long long n){
	jc[0]=jc[1]=1%mod;
	for(long long i=2;i<=n;i++)
		jc[i]=(jc[i-1]*i%mod);
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		jc_inv[i]=qni_fm(jc[i],mod);
}
long long MA(long long m,long long k,long long *n){
	long long ans=jc[m];
	for(int i=1;i<=k;i++)
		ans=ans*jc_inv[n[i]]%mod;
	return ans;
}

预处理 $O(n\log mod)$，查询 $O(k)$。

多重集的组合数 $MC_n^m$

需要前面 $m$ 特小，$n$ 特大的预处理阶乘及其逆元的求组合数算法。

long long MC(int k,long long r,long long mod,long long *a){
    long long ans=0,t;
    int p;
    C_init(K);
    for(int x=0;x<(1<<k);x++)
    	if(!x)
    		ans=(ans+C(k-1,k+r-1))%mod;
    	else{
    		t=k+r;
    		p=0;
    		for(int i=0;i<k;i++)
    			if((x>>i)&1)
    				p++,t-=a[i+1];
    		t-=p+1;
    		ans=(ans+(p&1?-1:1)*C(k-1,t))%mod;
	    }
	return (ans+mod)%mod;
}

时间复杂度 $O(k\times2^k)$。

Catalan 数列

需要前面任何一种组合数求法 $C_n^m$ 和乘法逆元。

long long Catalan(long long n,long long mod){
	return C(n,2*n,mod)*qni_fm(n+1,mod);
}