P8094 [USACO22JAN] Cow Frisbee S

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考场上唯一会的题（wtcl。

题意

一个 $1\sim n$ 的排列 $h_1,h_2,…,h_n$，求 $\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=i+1}[\max^{j-1}_ {k=i+1}h_k<\min(h_i,h_j)]$。

分析

设 $h_i=\min(h_i,h_j)$，则满足要求的 $h_j$ 最多只有两个：$h_i$ 左边第一个满足 $h_j>h_i$ 的数和 $h_i$ 右边第一个满足 $h_j>h_i$ 的数。

以下图的 $h_3=5$ 为例：

对于 $h_3$ 左边的数，$h_1=8$ 是第一个比它大的，因此中间的数都比他们小，必然满足 $\max^{j-1}_ {k=i+1}h_k<h_i<h_j$。

对于 $h_3$ 右边的数，$h_6=6$ 是第一个比它大的，因此中间的数都比他们小，必然满足 $\max^{j-1}_ {k=i+1}h_k<h_i<h_j$。但是 $h_6$ 后面有 $h_8>h_6>h_3$，那么 $h_8$ 能不能算入答案呢？显然不能，因为 $\max^{j-1}_ {k=i+1}h_k=h_6>h_3$。

因为 $h_i\neq h_j$，所以每个数对 $(i,j)$ 只会从较小的 $h_i$ 出发计算的方法计算一次，因此答案不重不漏。

那么如何计算左/右边第一个比 $h_i$ 大的数呢，开个小根堆，统计即可，时间复杂度 $O(n\log n)$。

但好像用栈可以 $O(n)$？管他呢，能过就行。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=3e5+10;
int n,h[N],d[N];
priority_queue<int>q;
ll ans;
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		h[i]=read();
		d[h[i]]=i;
		while(q.size()&&-q.top()<h[i]){
			ans+=abs(i-d[-q.top()])+1;
			q.pop();
		}
		q.push(-h[i]);
	}
	while(q.size())
		q.pop();
	for(int i=n;i;i--){
		while(q.size()&&-q.top()<h[i]){
			ans+=abs(i-d[-q.top()])+1;
			q.pop();
		}
		q.push(-h[i]);
	}
	write(ans);
	return 0;
}