SP16809 EST - Estimation

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题意

给你一个长度为 $n$ 整数数组 $a$, 求一个同长数组 $b$，其中 $b$ 分为 $k$ 段， 每段中 $b_i$ 的值相等，即当 $i,j$ 同属某一段时，有 $b_i=b_j$，使得 $\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|$ 最小，输出这个最小值。

分析

要使一段 $[l,r]$ 取到最小值，显然要使 $b_k(l\le k\le r)$ 为 $a_{l\sim r}$ 的中位数，可以借鉴 P1168 的思想，使用对顶堆来动态维护或者预处理，求出 $a_{l\sim r}$ 的中位数 $a_{mid}$。

设 $cost(l,r)$ 为将区间 $[l,r]$ 分为一段后的 $\sum_{i=l}^r|a_i-a_{mid}|$，如何求呢？我们把绝对值拆成非负和负两部分，先用两个树状数组存下 $v1=\sum_{i=l}^r[a_i\le a_{mid}],v2=\sum_{i=l}^r[a_i\le a_{mid}]\times a_i$，那么 $cost(l,r)=(v1\times a_{mid}-v2)+[\sum_{i=l}^ra_i-v2-(r-l+1-v1)\times a_{mid}]$。

设 $dp_{i,p}$ 为将 $a_{1\sim i}$ 划分为 $p$ 段的最小值，接下来状态转移方程就十分好列了：

$$dp_{i,p}=\max_{j=i-1}^0\{dp_{j,p-1}+cost(j+1,i)\}$$

注意 $j$ 层循环是倒序的，这样方便动态维护中位数和树状数组。

时间复杂度 $O(n^2(k+\log n))$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=2010,K=30;
int n,k;
ll dp[N][K],a[N],b[N],c[2][N],tot,mid,v,v1,v2;
void add(int t,int x,ll v){//树状数组 
	for(;x<=n;x+=x&-x)
		c[t][x]+=v;
}
ll ask(int t,int x){
	ll ans=0;
	for(;x;x-=x&-x)
		ans+=c[t][x];
	return ans;
}
priority_queue<int>q1,q2;
void addq(int p,int x){//对顶堆 
	if(q1.size()&&q1.top()<x)
		q2.push(-x);
	else q1.push(x);
	while(q1.size()<p){
		q1.push(-q2.top());
		q2.pop();
	}
	while(q1.size()>p){
		q2.push(-q1.top());
		q1.pop();
	}
}
int main(){
	while(n=read()){
		k=read();
		k=min(k,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			b[i]=a[i]=read();
		sort(b+1,b+n+1);
		tot=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;
		memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
		dp[0][0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			memset(c,0,sizeof(c));//清空树状数组和对顶堆 
			while(q1.size())
				q1.pop();
			while(q2.size())
				q2.pop();
			for(int j=i-1;j>=0;j--){
				addq((i-j+1)/2,a[j+1]);
				add(0,a[j+1],1);
				add(1,a[j+1],b[a[j+1]]);
				mid=q1.top();
				v1=ask(0,mid);
				v2=ask(1,mid);
				v=(b[mid]*v1-v2)+(ask(1,tot)-v2-b[mid]*(i-j-v1));//计算cost 
				for(int p=1;p<=k&&p<=i;p++)
					dp[i][p]=min(dp[i][p],dp[j][p-1]+v);
			}
		}
		write(dp[n][k]);
		puts("");
	}
	return 0;
}