UVA1640 统计问题 The Counting Problem

$\text{Link}$

题意

统计正整数 $a\sim b$ 中 $0\sim9$ 每个数码出现的次数。

分析

其实就是计算两次 $1\sim x$ 中每个数码 $num$ 出现的次数，前缀和相减就是答案。

我们设 $\text{ask}(x,num)$ 表示 $1\sim x$ 中数码 $num$ 出现的次数，先把数 $x$ 按位拆分，设共有 $n$ 位，个位到第 $n$ 位分别存在 $a_{1\sim n}$ 中，为了方便后面的计算，再求出 $b_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 位到个位组成的数。

然后开始求答案 $ans$，众所周知，$0$ 比较特殊，于是我们把 $0$ 单独提出来处理，先解决当 $num=1\sim9$ 时怎么做。

设 $\text{dfs}(p,num)$ 表示 $x$ 的第 $p$ 位之前全部填 $a_{p+1\sim n}$ 时第 $1\sim p$ 位的可能的数码 $num$ 的个数，特别的，当 $p=n$ 时，也认为有一个虚拟的第 $n+1$ 位填了最大的限制。

因此当 $num=1\sim 9$ 时，$\text{ask}(x,num)$ 为 $\text{dfs}(n,num)$。

然后写 $\text{dfs}(p,num)$。我们把统计第 $1\sim p$ 位分成第 $p$ 位和第 $1\sim p-1$ 位来算：

• 求第 $p$ 位填 $num$ 时的数的个数：若 $num<a_p$，这一位填 $num$ 时前面的位已经固定，后面的则可以为 $0\sim 10^{p-1}-1$ 共 $10^{p-1}$ 种数；若 $num=a_p$，则 $p\sim n$ 位都填了最大值，剩下的位可以填 $b_{p-1}+1$ 种数；若 $num>a_p$，则不可能填。

• 求第 $1\sim p-1$ 位填 $num$ 时的数的个数：若第 $p$ 位填 $a_p$，则后面的位子填的 $num$ 的个数就是 $\text{dfs}(p-1,num)$；若第 $p$ 位填 $0\sim a_p-1$，则此时后面的填法时没有限制的，设 $dp_{i,j}$ 表示 $0\sim 10^i-1$ 中的所有数的数码 $j$ 的个数的总和，则答案为 $dp_{p-1,num}\times a_p$。

对于 $num=0$ 的情况，最高位不能填 $num$，只要求出第 $n$ 位填 $1\sim a_n$ 时的答案和所有 $1\sim n-1$ 位数中 $num$ 的个数再相加就是答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10;
ll dp[N][N],m10[N]={1},a[N],b[N];
ll dfs(int p,int num){
	if(p==0)
		return 0;
	ll ans=0;
	if(num<a[p])
		ans+=m10[p-1];
	else if(num==a[p])
		ans+=b[p-1]+1;
	ans+=dp[p-1][num]*a[p];
	ans+=dfs(p-1,num);
	return ans;
}
ll ask(ll x,int num){
	if(x<10)
		return num<=x;
	int n=0;
	while(x){
		a[++n]=x%10;
		x/=10;
		b[n]=a[n]*m10[n-1]+b[n-1];
	}
	ll ans=0;
	if(num==0){
		ans=dp[n-1][num]*(a[n]-1);
		ans+=dfs(n-1,num);
		ans+=ask(m10[n-1]-1,num);
	}
	else
		ans=dfs(n,num);
	return ans;
}
int main(){
	for(int i=0;i<=9;i++)
		dp[1][i]=1;
	for(int i=1;i<=9;i++)
		m10[i]=m10[i-1]*10;
	for(int i=2;i<=9;i++)
		for(int j=0;j<=9;j++)
			dp[i][j]=m10[i-1]+dp[i-1][j]*10;
	ll x,y;
	while(cin>>x>>y&&x&&y){
		if(x<y)
			swap(x,y);
		for(int i=0;i<9;i++)
			cout<<ask(x,i)-ask(y-1,i)<<" ";
		cout<<ask(x,9)-ask(y-1,9)<<endl;
	}
	return 0;
}

注意输出不能多行末空格。