CF1688A Cirnos Perfect Bitmasks Classroom

题意

给出一个正整数 $x$，求出一个最小的正整数 $y$，使得 $x\text{ and }y>0$ 且 $x\text{ xor }y>0$。

分析

根据按位与和按位异或的性质，题目的两个条件可以理解为 $x,y$ 在二进制表示下至少有一位相同 $(\text{and})$，至少有一位不同 $(\text{xor})$。

显然最小的正整数为 $1$，我们从 $1$ 的角度出发，可以发现以下两个性质：

• 若 $x=1$，根据样例可以得到 $y$ 最小为 $11_{(2)}$。
• 若 $x$ 为大于 $1$ 的奇数，$y$ 最小为 $1_{(2)}$，因为此时 $y$ 末尾必与 $x$ 相同且其他位有不同的。

然后考虑 $x$ 为偶数时的解法。

为了让 $y$ 尽可能小，我们让它与 $x$ 重合的那位尽可能小，易知 $x$ 二进制的最低位为 $\text{lowbit}(x)=\texttt{x\&-x}$，那么：

• 若 $x$ 在二进制下每位上 $1$ 的个数大于 $1$，说明 $y=\text{lowbit}(x)$ 与 $x$ 至少有一位不同，且此时 $y$ 最小。
• 若 $x$ 在二进制下每位上 $1$ 的个数等于 $1$，说明 $y=\text{lowbit}(x)$ 与 $x$ 完全相同，为了让他们不同，末位改成 $1$ 就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int t;
int main(){
	t=read();
	while(t--){
		ll n=read();
		if(n==1)
			puts("3");
		else if(n&1)
			puts("1");
		else{
			if((n&-n)==n)
				write(n+1);
			else
				write(n&-n);
			puts("");
		}
	}
	return 0;
}