扩展卢卡斯定理

函数

• $\texttt{long long exlucas(long long n,long long m,long long P)}$：求 $C_n^m\bmod p$，$p$ 不一定是质数。

代码

ll qmi(ll a,ll b,ll p){
	ll ans=1%p;
	while(b){
		if(b&1)
			ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*x;
	return d;
}
ll inv(ll a,ll p_k){
	ll x,y;
	exgcd(a,p_k,x,y);
	return (x%p_k+p_k)%p_k;
}
ll fac(ll n,ll p,ll p_k){
	if(!n)
		return 1;
	ll ans=1;
	for(ll i=1;i<=p_k;i++)
		if(i%p)
			ans=ans*i%p_k;
	ans=qmi(ans,n/p_k,p_k);
	for(ll i=1;i<=n%p_k;i++)
		if(i%p)
			ans=ans*i%p_k;
	return ans*fac(n/p,p,p_k)%p_k;
}
ll qC(ll n,ll m,ll p,ll p_k){
	ll x=0,y=0,z=0;
	for(ll i=p;i<=n;i*=p)
		x+=n/i;
	for(ll i=p;i<=m;i*=p)
		y+=m/i;
	for(ll i=p;i<=(n-m);i*=p)
		z+=(n-m)/i;
	return fac(n,p,p_k)*inv(fac(m,p,p_k),p_k)%p_k
	*inv(fac(n-m,p,p_k),p_k)%p_k*qmi(p,x-y-z,p_k)%p_k;
}
long long CRT(int n,long long *a,long long *m){
    long long sum=0,M=1,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=a[i]*M/m[i]%M*(inv(M/m[i],m[i]))%M;
    }
    return (sum%M+M)%M;
}
ll exlucas(ll n,ll m,ll P){
	ll tot=0;
	for(ll p=2;p*p<=P;p++){
		if(P%p)
			continue;
		ll p_k=1;
		while(P%p==0){
			p_k*=p;
			P/=p;
		}
		a[++tot]=qC(n,m,p,p_k);
		b[tot]=p_k;
	}
	if(P>1){
		a[++tot]=qC(n,m,P,P);
		b[tot]=P;
	}
	return CRT(tot,a,b);
}