P2048 [NOI2010] 超级钢琴

$\text{Link}$

题意

给出一个长度为 $n$ 的数组 $A_{1\sim n}$，求区间和前 $k$ 大的长度在 $[L,R]$ 之间的区间的区间和之和。

分析

显然选出的这前 $k$ 大的区间的区间和肯定是单调不升的，我们可以二分最小的区间和 $mid$，看区间和不小于 $mid$ 的区间是否超过 $k$ 个。

要求区间和，显然可以直接用前缀和， $\text{check}$ 函数就是求 $sum_i-sum_{j}\ge mid$ 且 $j+L\le i\le j+R$ 的 $(i,j)$ 的个数是否大于等于 $k$。

移项一下可以得到 $sum_i\ge mid+sum_{j}$，对于每个 $j$，我们求出有多少个 $i$ 满足要求即可。

如果直接从 $1\sim n$ 枚举 $j$ 的话，很难用什么数据结构在同时满足两个条件的情况下计数，但是我们可以改变一下枚举顺序，按 $sum_j$ 从大到小枚举，这样的话到下一个 $sum_{j'}$ 时满足第一个条件的集合需要新加入的 $i$ 也是从大到小的，加入时把第 $i$ 个位置标记为 $1$，统计 $[j+L,j+R]$ 的 $1$ 的个数就是 $j$ 的答案。

为了改变枚举顺序，我们可以把 $sum_{j=0\sim n-1}$ 和 $sum_{i=1\sim n}$ 分别从大到小排序，用双指针 $+$ 树状数组维护即可。

二分出最大的 $mid$ 后，用同样的办法统计符合条件的 $sum_i$，减去 $sum_j$ 就可以求到和，注意如果 $(i,j)$ 的个数大于 $k$，要把多余的 $mid$ 减去。

令值域为 $S$，则时间复杂度为 $O(n\log n\log S)$，由于这题的题号 2048 很二进制所以树状数组做法可以过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=5e5+10;
int n,L,R,ff;
ll a[N],s[N],l,r,c1[N],c2[N],ans2,k,cnt,w,z;
struct asdf{
	ll v;
	int id;
}d1[N],d2[N];
bool cmp(asdf x,asdf y){
	return x.v>y.v;
}
void add1(int x,ll v){
	for(;x<=n;x+=x&-x)
		c1[x]+=v;
}
ll ask1(int x){
	ll ans=0;
	if(x>n)
		x=n;
	for(;x;x-=x&-x)
		ans+=c1[x];
	return ans;
}
void add2(int x,ll v){
	for(;x<=n;x+=x&-x)
		c2[x]+=v;
}
ll ask2(int x){
	ll ans=0;
	if(x>n)
		x=n;
	for(;x;x-=x&-x)
		ans+=c2[x];
	return ans;
}
ll check(ll x,bool f){
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		c1[i]=0;
	for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
		while(j<=n&&d1[j].v>=d2[i].v+x){
			add1(d1[j].id,1);
			if(f)
				add2(d1[j].id,d1[j].v);
			j++;
		}
		w=ask1(d2[i].id+R)-ask1(d2[i].id+L-1);
		ans+=w;
		if(f)
			ans2+=ask2(d2[i].id+R)-ask2(d2[i].id+L-1)-d2[i].v*w;
	}
	return ans;
}
int main(){
	n=read();k=read();L=read();R=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		s[i]=s[i-1]+a[i];
		d1[i].v=s[i];
		d2[i].v=s[i-1];
		d1[i].id=i;d2[i].id=i-1;
		if(a[i]<0)
			l+=a[i];
		else
			r+=a[i];
	}
	sort(d1+1,d1+n+1,cmp);
	sort(d2+1,d2+n+1,cmp);
	l*=k;r*=k;
	while(l<r){
		ll mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid,0)>=k)
			l=mid;
		else
			r=mid-1;
	}
	ll p=check(l,1);
	ans2-=(p-k)*l;
	write(ans2);
	return 0;
}