矩阵树定理

其实也可以叫做行列式的板子。

• 将无向图的 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵同时去掉任意一行一列，剩下的矩阵的行列式绝对值，就是这个无向图的生成树个数，带权则为积。
• 将有向图的 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵同时去掉根所在一行一列，剩下的矩阵的行列式绝对值，就是这个有向图的生成树个数，带权则为积。
• 如果是有向图的外向树，则度数矩阵应为 $d_{i,i}=\sum_{j=1}^na_{j,i}$，即入边之和。
• 如果是有向图的内向树，则度数矩阵应为 $d_{i,i}=\sum_{j=1}^na_{i,j}$，即出边之和。
• 如果是无向图，则度数矩阵应为 $d_{i,i}=\sum_{j=1}^na_{i,j}+a_{j,i}$，即无向边之和。
• 将度数矩阵减去边矩阵，就得到了 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵。

变量

• $\texttt{long long *a[i]}$：$b$ 数组的第 $i$ 行的地址，便于交换行。
• $\texttt{long long b[i][j]}$：$\text{Kirchhoff}$ 矩阵的值。

函数

• $\texttt{void init(int n)}$：初始化 $a、b$ 数组。
• $\texttt{ll det(int n)}$：求行列式的值，点数为 $n$，注意有向图的根必须为 $n$。

代码

struct Matrix_Tree{
	ll *a[N],b[N][N];
	void init(int n){
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=b[i];
		memset(b,0,sizeof(b));
	}
	ll det(int n){
		ll ans=1,f=1;
		for(int j=1;j<n;j++){
			for(int i=j;i<n;i++)
				if(a[i][j]){
					if(i^j)
						swap(a[i],a[j]),f*=-1;
					break;
				}
			if(a[j][j]==0)return 0;
			ans=ans*a[j][j]%mod;
			ll t=qmi(a[j][j],mod-2);
			for(int k=j;k<n;k++)a[j][k]=a[j][k]*t%mod;
			for(int i=j+1;i<n;i++){
				t=mod-a[i][j];
				for(int k=j;k<n;k++)
					a[i][k]=(a[i][k]+t*a[j][k]%mod)%mod;
			}
		}
		return (ans*f+mod)%mod;
	}
}tree;