二次剩余

先记几个结论：

• $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod p\Leftrightarrow n 是p的二次剩余$。
• $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \pmod p\Leftrightarrow n 不是p的二次剩余$。
• 若 $n$ 是 $p$ 的二次剩余，$x^2\equiv n \pmod p$ 有两根，且两根互为相反数。
• 若 $a^2-n$ 不是二次剩余，令 $i^2=a^2-n\pmod p$，那么 $x^2\equiv n \pmod p$ 的其中一根为 $(a+i)^{\frac{p+1}{2}}\mod p$，即 $(a+i)^{p+1}\equiv n\pmod p$。
• $(x+y)^p\equiv x^p+y^p\pmod p$。

求解 $x^2\equiv n\pmod p$：

变量

• $\texttt{ll n}$：二次剩余。
• $\texttt{ll p}$：模数。
• $\texttt{ll ii}$：$i^2$。

函数

• $\texttt{ll get(ll n)}$：$32$ 位随机数。
• $\texttt{struct xushu}$：虚数结构体。
• $\texttt{ll qmi(ll a,ll b)}$：整数快速幂。
• $\texttt{xushu qmi(xushu a,ll b)}$：虚数快速幂。
• $\texttt{pair<ll,ll> Cipolla(ll n,ll pp)}$：用 $\text{Cipolla}$ 方法求解，模数为 $pp$，若无解则返回 $-1,-1$。

代码

ll ii,p;
ll get(ll n){
    return (((rand()<<16ll)%n+n+(rand()))%n+1);
}
struct xushu{
	ll a,b;
	xushu operator+(const xushu x)const{
		return (xushu){(a+x.a)%p,(b+x.b)%p};
	}
	xushu operator*(const xushu x)const{
		return (xushu){(a*x.a%p+ii*b%p*x.b%p)%p,(b*x.a%p+a*x.b%p)%p};
	}
}res;
ll qmi(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;b>>=1;
	}
	return ans;
}
xushu qmi(xushu a,ll b){
	xushu ans;ans.a=1;ans.b=0;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;b>>=1;
	}
	return ans;
}
pair<ll,ll> Cipolla(ll n,ll pp){
	srand(time(0));
	ll a;p=pp;
	if(!n)return make_pair(0,0);
	if(qmi(n,(p-1)/2)!=1)return make_pair(-1,-1);
	do{
		a=get(p-1);
	}while(qmi((a*a%p-n%p+p)%p,(p-1)/2)==1);
	ii=(a*a%p-n%p+p)%p;
	res.a=a;res.b=1;
	res=qmi(res,(p+1)/2);
	ll ans1=res.a,ans2=p-res.a;
	if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
	return make_pair(ans1,ans2);
}