2024-8 记录

8.6

下降幂乘法卡了两页多最终都没过，果然大常选手不适合做多项式。

$\color{Black}\text{AT\_arc150\_f [ARC150F] Constant Sum Subsequence\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

神仙分治。

首先有一个 $O(S^2\log n)$ 的暴力：设$f_i$ 表示和为 $i$ 时最小的 $p$，$nxt(x,k)$ 表示 $x$ 之后下一个 $k$ 出现的位置，可以预处理再以 $O(\log n)$ 求出。那么有：

$$f_i=\max_{j=1}^{i}nxt(f_{i-j},j)$$

乍一看好像亿点优化空间也没有，但是神仙就是神仙。考虑分治，计算 $[l,mid]$ 对 $[mid+1,r]$ 的影响，枚举 $j$ 这一维，显然 $f_i$ 单调递增，那么就有一段连续的 $k\in[pos,mid]$，$nxt(f_k,j)=x$，可以直接更新答案，对于其他的 $k\in[l,pos-1]$，有 $nxt(f_k,j)<f_{mid}$（不然就不符合定义了），又有 $f_{mid}$ 小于右半边的 $f$，所以这些 $k$ 不会成为答案。于是只要区间取 $\max$ 即可。

8.7

学习了支配对黑科技。

支配对

常用于点对统计问题。

• 支配：若统计 $(u_2,v_2)$ 时必然会统计到 $(u_1,v_1)$，且 $(u_2,v_2)$ 的贡献会被 $(u_1,v_1)$ 覆盖，那么称 $(u_1,v_1)$ 支配了 $(u_2,v_2)$。显然 $(u_2,v_2)$ 是没必要统计的。
• 支配对：若 $(u_1,v_1)$ 未被任何点对支配，则称 $(u_1,v_1)$ 为支配对。显然只要统计了所有支配对就能统计所有信息。

求出支配对后，用扫描线即可解决询问。

支配对分为两类。

1. 树上支配对：一般存在于区间内点对 $\texttt{lca}$ 相关的问题，可以枚举 $\texttt{lca}$，对于节点 $u$，与他不在一颗子树中他的前驱/后继可与他构成支配对。可用树上启发式合并 $+\ \texttt{set}$ 做到 $O(n\log^2 n)$，支配对只有 $O(n\log n)$ 个。
2. 序列支配对：一般满足，对于点对 $(i,j)$ 中的 $i$，仅有 $O(\log n)$ 个 $j$ 与 $i$ 构成支配对。一般可以这么构造：1.$(i,i+1)$ 显然为支配对。2.若 $(i,j)$ 为支配对，$(i,k)$ 为支配对且 $k>j$，那么 $(i,j)$ 与 $(j,k)$ 均不能支配 $(i,k)$，且利用此性质可使 $k$ 的取值范围或某个值域减半。

$\color{Purple}\text{P7880 [Ynoi2006] rldcot\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

$\color{Black}\text{P8528 [Ynoi2003] 铃原露露\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

$\color{Black}\text{P9058 [Ynoi2004] rpmtdq\ P9678 [ICPC2022 Jinan R] Tree Distance\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

都是链接里的例题。

$\color{Purple}\text{P8512 [Ynoi Easy Round 2021] TEST\_152\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

一发进入最优解第一页祭。

考虑扫描线处理询问，枚举询问右端点 $r$。

有个显然结论：按操作把序列分段的段数是 $O(n)$ 级别。序列长度都是 $O(n)$ 了这有什么用。其实是很有用的，这意味着把这些连续段分别加入、删除的复杂度也是 $O(n)$ 的！于是可以在 $\texttt{set}$ 中记录四元组 $(l,r,ti,v)$ 表示区间 $[l,r]$ 的值均为 $v$，且是由第 $ti$ 次操作造成的。新加入一个操作时，暴力加入和删除，权值在树状数组 $c_{ti}$ 处加减，询问则统计后缀和即可。

8.8

$\color{Purple}\text{ P8543 「Wdoi-2」纯粹的复仇女神\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

若只有一种颜色，显然可以扫描线，再用一个单调栈维护之前的值及其覆盖区间，加入就暴力删除同时线段树做区间覆盖即可。

若有多种颜色，仍然使用扫描线和单调栈，只不过要把多个区间覆盖取 $\max$，不可做，考虑转化为区间标记的加入与删除，放在线段树对应区间的节点上即可，用标记永久化统计答案。

时间复杂度 $O(n\log^2n+q\log n)$。

$\color{Purple}\text{P1222 三角形\ }\color{Blue}\text{P3219 [HNOI2012] 三角形覆盖问题\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

将三角形的左右顶点横坐标离散化，这样每个三角形都被分割成梯形或三角形，在扫描的每一段内，把相关的三角形按当前段内最上面的顶点从大到小排序，然后逐个计算答案，分类讨论是平凡的。

时间复杂度 $O(n^2\log n)$，过不了蓝题，其实不用每次排序，用 $\texttt{set}$ 在线维护即可，时间复杂度 $O(n^2)$。

$\color{Blue}\text{CF506D Mr. Kitayuta's Colorful Graph\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=4}$

根号分治。枚举颜色 $c$，再用并查维护集，处理询问，记 $sum_c$ 为颜色 $c$ 包含的边数。

• 若 $sum_c\le B$，则暴力枚举并查集中点对 $(u,v)$，看能否对某个询问产生贡献。
• 若 $sum_c> B$，则暴力枚举所有询问，看是否联通。

8.9

$\color{Purple}\text{P2260 [清华集训2012] 模积和\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

把原式拆成两个和式的乘积，分开计算再减去多算的部分即可。

$\color{Purple}\text{P5221 Product\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

分别考虑每个质因子 $p$，记 $f_p(n)$ 为 $n$ 分解后因子 $p$ 的个数，则原式等于：

$$\prod_p\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^Np^{|f_p(i)-f_p(j)|}$$ $$=\prod_pp^{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N|f_p(i)-f_p(j)|}$$

求出 $f_p(i)=k$ 的 $i$ 的个数，然后做线段覆盖求解即可。

$\color{Purple}\text{CF1801F Another n-dimensional chocolate bar\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

神仙题。

显然不能把当前 $b$ 的乘积 $j$ 作为一维，考虑设 $f_{i,j}$ 表示 $b_{1\sim i}$ 将 $k$ 消减后接下来的数乘积至少为 $j$ 才能符合要求。

同时有个结论：

$$\left\lceil{\frac{j}{b_i}}\right\rceil=\left\lfloor{\frac{j-1}{b_i}}\right\rfloor+1$$

显然这样状态数只有 $O(\sqrt n)$ 种，可以接受。

转移时，用整除分块取最小的 $b_i$ 即可。

时间复杂度 $O(n^{0.75})$。